(ex_edometru)=
# Exerciții

```{exercise}
:label: ex2_1
Dintr-o încercare edometrică pe o argilă saturată s-au obținut, la sfârșitul treptelor:

| $\sigma'_v$ (kPa) | 25 | 50 | 100 | 200 | 400 | 800 | 200 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $e$ [–] | 1,210 | 1,195 | 1,160 | 1,060 | 0,940 | 0,820 | 0,845 | 0,872 |

a) Estimați $\sigma'_p$ (grafic sau din schimbarea pantei). b) Calculați $C_c$ [–] pe ramura 200–800 kPa și $C_s$ [–] pe descărcare. c) Transformați în $\lambda$ și $\kappa$ [–] (toți acești indici sunt pante în grafice $e$–$\log\sigma'$, deci adimensionali). d) Dacă proba a fost prelevată de la o adâncime la care $\sigma'_{v0} = 60$ kPa, cât este OCR?
```

````{solution} ex2_1
:class: dropdown
a) Între 25 și 100 kPa panta e mică ($\Delta e = 0{,}05$ pe 0,6 decade); de la 100 la 200 kPa panta sare ($\Delta e = 0{,}10$ pe 0,3 decade). Cotirea e în jur de $\sigma'_p \approx 100$–120 kPa. Luăm 110 kPa.

b) $C_c = (1{,}060 - 0{,}820)/\log_{10}(800/200) = 0{,}240/0{,}602 = 0{,}40$ [–].
$C_s = (0{,}872-0{,}820)/\log_{10}(800/50) = 0{,}052/1{,}204 = 0{,}043$ [–].

c) $\lambda = 0{,}40/2{,}303 = 0{,}174$; $\kappa = 0{,}043/2{,}303 = 0{,}019$. Raport $\kappa/\lambda \approx 0{,}11$.

d) OCR $= 110/60 \approx 1{,}8$ [–] — ușor supraconsolidată.
````

```{exercise}
:label: ex2_2
O argilă NC cu $\lambda = 0{,}17$, $\kappa = 0{,}02$, $v = 2{,}1$ (toate [–]) la $p' = 100$ kPa este încărcată izotrop până la $p' = 300$ kPa. Calculați deformația volumică totală, elastică și plastică [%]. Ce fracție din tasare s-ar recupera dacă am descărca înapoi la 100 kPa?
```

````{solution} ex2_2
:class: dropdown
$\ln(300/100) = 1{,}099$ [–].

- totală: $\varepsilon_v = (0{,}17/2{,}1)\cdot1{,}099 = 8{,}9\,\%$
- elastică: $\varepsilon_v^e = (0{,}02/2{,}1)\cdot1{,}099 = 1{,}05\,\%$
- plastică: $8{,}9 - 1{,}05 = 7{,}85\,\%$

La descărcare recuperăm doar partea elastică: ~12 % din tasare. (Riguros, $v$ scade pe parcurs și ar trebui integrat, dar la acest nivel aproximația cu $v$ constant este suficientă.)
````

```{exercise}
:label: ex2_3
Un strat de argilă a fost acoperit, acum 10 000 de ani, de 40 m de sedimente care au fost apoi erodate complet. Astăzi, la 5 m adâncime în argilă (nivelul apei la suprafață, $\gamma_{sat} = 19$ kN/m³; sedimentele erodate aveau $\gamma = 18$ kN/m³ și erau deasupra apei), cât este OCR? Dar la 20 m?
```

````{solution} ex2_3
:class: dropdown
Efortul efectiv actual: $\sigma'_{v0} = (\gamma_{sat}-\gamma_w)\,z = (19-10)\,z = 9z$ kPa ($z$ în m).
Efortul maxim din istorie: $\sigma'_p = 9z + 18\cdot40 = 9z + 720$ kPa.

- $z = 5$ m: $\sigma'_{v0} = 45$ kPa, $\sigma'_p = 765$ kPa, OCR $= 765/45 = 17$ [–].
- $z = 20$ m: $\sigma'_{v0} = 180$ kPa, $\sigma'_p = 900$ kPa, OCR $= 900/180 = 5$ [–].

OCR **scade cu adâncimea** — un profil tipic pentru argilele erodate. Aproape de suprafață, argila este puternic supraconsolidată (rigidă, fisurată, se dilată la forfecare); în adâncime devine aproape NC.
````

```{exercise}
:label: ex2_4
Explicați, fără formule, de ce o argilă supraconsolidată se tasează puțin sub o clădire nouă, dar o umplutură pusă peste o argilă normal consolidată produce tasări mari și de lungă durată.
```

````{solution} ex2_4
:class: dropdown
Argila OC se află sub NCL, pe o URL: o încărcare suplimentară o mișcă pe linia plată (pantă $\kappa$) până când — dacă vreodată — ajunge la $\sigma'_p$. Deformația este mică și în mare parte elastică. Argila NC se află **deja** pe NCL: orice încărcare o împinge mai departe pe linia abruptă (pantă $\lambda$), cu deformații plastice mari. Și, fiind puțin permeabilă, apa iese încet — de aici durata.
````

```{exercise}
:label: ex2_5
**Cu date de laborator.** Epruveta din {ref}`ex1_5` (diametru 70 mm, înălțime inițială $h_0 = 20{,}00$ mm, $m_s = 110{,}0$ g, $\gamma_s = 27{,}0$ kN/m³) este încărcată în edometru. Tasările citite la comparator la sfârșitul fiecărei trepte (24 h), măsurate de la începutul încercării:

| $\sigma'_v$ [kPa] | 25 | 50 | 100 | 200 | 400 | 800 | 200 (descărcare) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| tasare $s$ [mm] | 0,15 | 0,29 | 0,47 | 1,05 | 2,00 | 2,96 | 2,70 |

a) Calculați înălțimea solidului $h_s$ [mm] și indicele porilor $e$ [–] la fiecare treaptă.
b) Determinați $C_c$ și $C_s$ [–], apoi $\lambda$ și $\kappa$ [–].
c) Estimați presiunea de preconsolidare $\sigma'_p$ [kPa] ca intersecție a dreptei de reîncărcare cu NCL.
```

````{solution} ex2_5
:class: dropdown
a) $V_s = 110{,}0/2{,}70 = 40{,}74$ cm³; $A = \pi \cdot 3{,}5^2 = 38{,}48$ cm²; $h_s = 40{,}74/38{,}48 = 1{,}059$ cm $= 10{,}59$ mm. La fiecare treaptă $h = 20{,}00 - s$ și $e = h/h_s - 1$:

| $\sigma'_v$ [kPa] | 0 | 25 | 50 | 100 | 200 | 400 | 800 | 200 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $h$ [mm] | 20,00 | 19,85 | 19,71 | 19,53 | 18,95 | 18,00 | 17,04 | 17,30 |
| $e$ [–] | 0,889 | 0,875 | 0,862 | 0,845 | 0,790 | 0,700 | 0,610 | 0,634 |

b) Pe ramura 200–800 kPa: $C_c = (0{,}790 - 0{,}610)/\log_{10}(800/200) = 0{,}180/0{,}602 = 0{,}30$ [–]. La descărcare 800 → 200 kPa: $C_s = (0{,}634 - 0{,}610)/0{,}602 = 0{,}040$ [–]. Deci $\lambda = 0{,}30/2{,}303 = 0{,}130$ [–] și $\kappa = 0{,}040/2{,}303 = 0{,}017$ [–].

c) Dreapta de reîncărcare (25–100 kPa) are panta $(0{,}875 - 0{,}845)/0{,}602 = 0{,}05$ și trece prin (100 kPa; 0,845). NCL are panta 0,30 și trece prin (200 kPa; 0,790). Notând $x = \log_{10}(\sigma'_v/100)$:

$$
0{,}845 - 0{,}05\,x = 0{,}790 - 0{,}30\,(x - 0{,}301) \quad\Rightarrow\quad x = 0{,}14 \quad\Rightarrow\quad \sigma'_p = 100 \cdot 10^{0{,}14} \approx 140\ \text{kPa}.
$$

Două observații de laborator. Întâi, $e$ se obține din **înălțimi**, nu din cântăriri la fiecare treaptă: singura cântărire necesară este masa uscată de la sfârșit. Apoi, o eroare de 0,05 mm la citirea comparatorului schimbă $e$ cu 0,005 — neglijabil pe NCL, dar un sfert din toată variația de pe ramura de descărcare. De aceea $C_s$ (și deci $\kappa$) se determină mult mai puțin precis decât $C_c$.
````