(ex_forfecare)=
# Exerciții

```{exercise}
:label: ex3_1
Trei probe din același nisip, forfecate drenat în cutie la $\sigma'_n$ = 100, 200 și 400 kPa, au dat $\tau$ la deplasare mare (platou) de 62, 121 și 245 kPa, iar valorile de vârf 85, 150 și 268 kPa. Calculați $\varphi'_{cs}$ și $\varphi'_{peak}$ [°] pentru fiecare probă. Ce observați?
```

````{solution} ex3_1
:class: dropdown
Stare critică: $\tan\varphi'_{cs} = \tau_{cs}/\sigma'_n = 62/100,\ 121/200,\ 245/400 = 0{,}62,\ 0{,}605,\ 0{,}613$ [–] ⇒ $\varphi'_{cs} \approx 31{,}5°$ la toate trei (constantă a materialului, $c' = 0$ kPa).

Vârf: $\tan\varphi'_{peak} = 85/100,\ 150/200,\ 268/400 = 0{,}85,\ 0{,}75,\ 0{,}67$ [–] ⇒ $40{,}4°,\ 36{,}9°,\ 33{,}8°$. Vârful **scade cu efortul normal**: la eforturi mari, dilatanța este suprimată. O dreaptă trasă prin vârfuri ar da un $c'$ aparent de ~25 kPa și un $\varphi'$ de ~31° — o „coeziune” care nu există fizic, ci este artefactul unei înfășurători curbe.
````

```{exercise}
:label: ex3_2
Într-o încercare CU pe o argilă NC consolidată izotrop la $\sigma'_r = p'_0 = 300$ kPa, la cedare s-au măsurat $\sigma_a - \sigma_r = 180$ kPa și $\Delta u = 160$ kPa. Calculați $\sigma'_a$, $\sigma'_r$, $c_u$ [kPa] și raportul $c_u/p'_0$ [–]. Spre ce semn a mers $\Delta u$ și de ce?
```

````{solution} ex3_2
:class: dropdown
- $\sigma'_r = 300 - 160 = 140$ kPa; $\sigma'_a = 140 + 180 = 320$ kPa.
- $c_u = 180/2 = 90$ kPa; $c_u/p'_0 = 90/300 = 0{,}30$ [–].
- $\Delta u > 0$: argila NC a vrut să se contracte, n-a putut, a presat apa. Efortul radial efectiv a scăzut de la 300 la 140 kPa — argila a cedat la un nivel de efort efectiv mult mai mic decât cel la care a fost consolidată.
````

```{exercise}
:label: ex3_3
Aceeași argilă ca la {ref}`ex3_2`, dar consolidată la 800 kPa și descărcată la 100 kPa (OCR $= 800/100 = 8$ [–]), apoi forfecată nedrenat. Ce semn va avea $\Delta u$? Va fi $c_u$ mai mare sau mai mic decât $0{,}30 \times 100 = 30$ kPa? Argumentați.
```

````{solution} ex3_3
:class: dropdown
Argila este puternic OC („uscată”): va vrea să se dilate ⇒ $\Delta u < 0$ ⇒ $p'$ crește în timpul forfecării ⇒ cedează la un $p'$ mai mare decât 100 kPa ⇒ $c_u$ va fi **mult mai mare** decât 30 kPa (de ordinul 100–150 kPa — ea „își amintește” cei 800 kPa). În cap. 7 vom calcula exact: $c_u$ crește cu OCR aproximativ ca $\mathrm{OCR}^{\,0{,}8}$.
````

```{exercise}
:label: ex3_4
O umplutură de 6 m se execută în 3 săptămâni pe un strat de argilă NC moale. Un coleg propune să se verifice stabilitatea „la sfârșitul construcției” cu $\varphi'_{cs}$ și $c' = 0$ kPa (analiză drenată). Ce îi răspundeți?
```

````{solution} ex3_4
:class: dropdown
Trei săptămâni este „rapid” pentru o argilă (permeabilitate mică): la sfârșitul construcției, apa nu a apucat să iasă, $\Delta u > 0$ este maxim, iar $p'$ în argilă este mai mic decât îl presupune analiza drenată. Analiza drenată cu $\varphi'_{cs}$ **supraestimează** rezistența la acel moment. Cazul critic pentru o argilă NC este **nedrenat**, la sfârșitul construcției: analiză în eforturi totale cu $c_u$ (sau în eforturi efective, dar cu $\Delta u$ estimat). Pe termen lung, după consolidare, argila va fi mai rezistentă — analiza drenată devine relevantă pentru alte verificări (tasări), nu pentru stabilitatea imediată.
````

```{exercise}
:label: ex3_5
**Cu date de laborator.** O epruvetă de argilă normal consolidată, cu diametrul 38 mm și înălțimea 76 mm, este saturată cu o contrapresiune de 200 kPa și consolidată izotrop la presiunea în celulă de 400 kPa. Apoi este forfecată nedrenat (CU). La cedare s-au citit:

| Mărime | Valoare |
|---|---|
| forța pe piston $F$ | 0,155 kN |
| scurtarea epruvetei $\Delta h$ | 9,12 mm |
| presiunea apei din pori $u$ | 310 kPa |
| presiunea în celulă $\sigma_r$ | 400 kPa (constantă) |

Calculați: efortul efectiv de consolidare; deformația axială [%]; aria corectată [cm²]; efortul deviator [kPa]; $\Delta u$ [kPa]; $\sigma'_r$ și $\sigma'_a$ [kPa] la cedare; $c_u$ [kPa] și $c_u/p'_0$ [–]; unghiul de frecare $\varphi'$ [°] (cu $c' = 0$ kPa).
```

````{solution} ex3_5
:class: dropdown
- Consolidare: $p'_0 = \sigma_r - u_0 = 400 - 200 = 200$ kPa.
- $\varepsilon_a = 9{,}12/76 = 0{,}12 = 12\,\%$.
- Aria inițială $A_0 = \pi \cdot 1{,}9^2 = 11{,}34$ cm². Nedrenat, volumul este constant ($\varepsilon_v = 0$), deci epruveta care se scurtează se îngroașă: $A = A_0/(1 - \varepsilon_a) = 11{,}34/0{,}88 = 12{,}89$ cm².
- Efortul deviator: $\sigma_a - \sigma_r = F/A = 0{,}155\ \text{kN}/(12{,}89 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^2) = 120$ kPa. (Fără corecția de arie am fi obținut 137 kPa, cu 14 % prea mult.)
- $\Delta u = 310 - 200 = +110$ kPa.
- $\sigma'_r = 400 - 310 = 90$ kPa; $\sigma'_a = 90 + 120 = 210$ kPa.
- $c_u = 120/2 = 60$ kPa; $c_u/p'_0 = 60/200 = 0{,}30$ [–].
- $\sin\varphi' = (\sigma'_a - \sigma'_r)/(\sigma'_a + \sigma'_r) = 120/300 = 0{,}40 \Rightarrow \varphi' = 23{,}6°$.

Presiunea apei a crescut cu 110 kPa: efortul radial efectiv a scăzut de la 200 la 90 kPa în timpul forfecării. Este comportarea tipică a unei argile normal consolidate.
````