(csl)=
# Linia stării critice: $M$ și $\Gamma$

```{admonition} Intuiție
:class: tip
În capitolul 3 am văzut că, la deformații mari, toate probele ajung într-o stare în care $\tau$ și $e$ nu se mai schimbă — și că acea stare depinde doar de efortul normal. În limbajul nou: pentru fiecare $p'$ există **un singur** $q_{cs}$ și **un singur** $v_{cs}$. Mulțimea acestor puncte $(p', q_{cs}, v_{cs})$ este o **curbă în spațiu**: linia stării critice, CSL. Are o proiecție în fiecare plan, și fiecare proiecție are un parametru.
```

## În planul eforturilor: $M$

Experimental, punctele de stare critică se aliniază pe o dreaptă **prin origine**:

$$
\boxed{\,q_{cs} = M\,p'_{cs}\,}
$$

$M$ (adimensional) este **panta liniei stării critice în planul $q$–$p'$**. Este echivalentul lui $\tan\varphi'_{cs}$ din cutia de forfecare, tradus în coordonate Cambridge. Pentru compresiune triaxială:

$$
\boxed{\,M = \frac{6\sin\varphi'_{cs}}{3 - \sin\varphi'_{cs}}\,}, \qquad
\sin\varphi'_{cs} = \frac{3M}{6+M}.
$$

| $\varphi'_{cs}$ | 20° | 25° | 30° | 33° | 36° |
|---|---|---|---|---|---|
| $M$ [–] (compresiune) | 0,77 | 0,98 | 1,20 | 1,33 | 1,46 |

Ordinul de mărime de ținut minte: **$M \approx 1$** la argile, **$M \approx 1{,}2$–$1{,}5$** la nisipuri.

```{admonition} De ce trece prin origine
:class: note
Pentru că la stare critică $c' = 0$. Orice „coeziune” măsurată pe înfășurătoarea de vârf provine din dilatanță sau din structură (cimentare, îmbătrânire) — lucruri pe care forfecarea mare le distruge. La stare critică rămâne doar frecarea: o dreaptă prin origine.
```

```{admonition} Extensiune
:class: dropdown
În extensiune triaxială ($\sigma'_a < \sigma'_r$), același $\varphi'_{cs}$ dă o pantă diferită, $M_e = 6\sin\varphi'_{cs}/(3+\sin\varphi'_{cs})$, mai mică (pentru 30°: $M_e = 0{,}86$ față de $M_c = 1{,}20$). Linia stării critice nu este simetrică față de axa $p'$ — o consecință a faptului că criteriul Mohr–Coulomb nu depinde de $\sigma'_2$, iar $q$ da. În carte vom lucra aproape numai în compresiune și vom scrie $M$ pentru $M_c$.
```

## În planul de compresiune: $\Gamma$

Tot experimental, punctele de stare critică se aliniază, în $v$–$\ln p'$, pe o dreaptă **paralelă cu NCL**:

$$
\boxed{\,v_{cs} = \Gamma - \lambda \ln p'_{cs}\,}
$$

- panta este **același** $\lambda$ ca al liniei de compresiune normală — un fapt experimental remarcabil și o ipoteză de bază a modelului;
- $\Gamma$ (gamma mare) este valoarea lui $v$ pe CSL la $p' = 1$ kPa; fixează poziția dreptei. Pentru că CSL este **sub** NCL (un pământ forfecat până la stare critică este mai îndesat decât unul doar comprimat la același $p'$), avem $\Gamma < N$.

Diferența $N - \Gamma$ este mică și, în Cam-Clay, nu este un parametru liber: modelul o **prezice** din $\lambda$ și $\kappa$ ($N - \Gamma = \lambda - \kappa$ în Cam-Clay original, $(\lambda-\kappa)\ln 2$ în Cam-Clay modificat — cap. 6). Deocamdată tratează $\Gamma$ ca pe o constantă măsurată.

```{figure} ../figures/svg/csl.svg
---
width: 95%
name: fig_csl
---
Linia stării critice în cele două proiecții. Stânga: $q = Mp'$ în planul eforturilor, cu drumuri drenate (3:1) pornind de la $p'_0$ = 100, 200, 300 kPa și oprindu-se pe CSL. Dreapta: $v = \Gamma - \lambda\ln p'$ în planul de compresiune, paralelă cu NCL ($v = N - \lambda\ln p'$) și sub ea; aceleași drumuri coboară de pe NCL pe CSL.
```

## Cum se măsoară

Dintr-o serie de încercări triaxiale (CD sau CU, NC sau OC — nu contează, exact asta e ideea) duse la deformații mari, luăm starea finală $(p'_f, q_f, v_f)$ a fiecăreia:

- regresie $q_f$ vs. $p'_f$ prin origine ⇒ $M$;
- regresie $v_f$ vs. $\ln p'_f$ ⇒ $\Gamma$ (și o verificare a lui $\lambda$).

În practică, deformațiile din triaxial (15–20 % axial) nu ajung mereu la stare critică la argile OC (se formează plane de forfecare); valorile se extrapolează. La nisipuri, aparatele moderne (triaxial cu lubrifiere, forfecare simplă) ajung mai aproape.

## Valori pentru argile clasice (Schofield & Wroth, 1968)

| Argilă | $M$ [–] | $\Gamma$ [–] | $\lambda$ [–] | $\kappa$ [–] |
|---|---|---|---|---|
| Weald Clay | 0,95 | 2,060 | 0,093 | 0,035 |
| London Clay | 0,888 | 2,759 | 0,161 | 0,062 |

Cu $M = 0{,}95$ ⇒ $\varphi'_{cs} = 24{,}2°$; cu $M = 0{,}888$ ⇒ $22{,}7°$. Valori perfect normale pentru argile plastice.

```{admonition} Rezumat
:class: important
- CSL în $q$–$p'$: $q = Mp'$, prin origine; $M \leftrightarrow \varphi'_{cs}$.
- CSL în $v$–$\ln p'$: $v = \Gamma - \lambda\ln p'$, paralelă cu NCL și sub ea.
- Cinci parametri: avem acum $M$, $\Gamma$, $\lambda$, $\kappa$, $N$ — toți.
```