(ex_parametri)=
# Exerciții

```{exercise}
:label: ex4_1
O probă în triaxial are $\sigma_a = 450$ kPa, $\sigma_r = 300$ kPa, $u = 120$ kPa. Calculați $p$, $p'$, $q$ [kPa]. Apoi, dacă $u$ crește la 180 kPa fără să se schimbe eforturile totale, ce se schimbă și ce nu?
```

````{solution} ex4_1
:class: dropdown
$p = (450+600)/3 = 350$ kPa; $p' = 350-120 = 230$ kPa; $q = 150$ kPa.
Cu $u = 180$ kPa: $p' = 350 - 180 = 170$ kPa, $q = 150$ kPa neschimbat. Punctul s-a mutat 60 kPa spre stânga în planul $q$–$p'$.
````

```{exercise}
:label: ex4_2
Un nisip are $\varphi'_{cs} = 33°$. Calculați $M$ [–]. O probă consolidată izotrop la $p'_0 = 150$ kPa este forfecată drenat ($\sigma_r$ constant). La ce $p'$ și $q$ [kPa] va ajunge la stare critică? (Indicație: intersectați drumul 3:1 cu CSL.)
```

````{solution} ex4_2
:class: dropdown
$M = 6\sin 33°/(3-\sin 33°) = 3{,}268/2{,}455 = 1{,}33$ [–].
Drum: $q = 3(p'-150)$. CSL: $q = 1{,}33p'$. ⇒ $3p' - 450 = 1{,}33p'$ ⇒ $p'_{cs} = 450/1{,}67 = 269$ kPa, $q_{cs} = 358$ kPa.
Formula generală: $p'_{cs} = 3p'_0/(3-M)$.
````

```{exercise}
:label: ex4_3
Weald Clay ($\lambda = 0{,}093$, $\kappa = 0{,}035$, $N = 2{,}10$, $\Gamma = 2{,}06$, $M = 0{,}95$ — toți [–]; $N$ și $\Gamma$ sunt valori ale lui $v$ la $p' = 1$ kPa). O probă este consolidată izotrop la 400 kPa, apoi descărcată la 100 kPa.
a) Calculați $v$ și $\psi$ [–]. Este „udă” sau „uscată”?
b) Dacă o forfecăm **nedrenat**, la ce $p'$ [kPa] va ajunge la stare critică? Dar $q$? Deci $c_u$ [kPa]?
c) Răspundeți la b) pentru o probă NC la 100 kPa.
```

````{solution} ex4_3
:class: dropdown
a) Pe NCL la 400 kPa: $v = 2{,}10 - 0{,}093\ln 400 = 2{,}10 - 0{,}557 = 1{,}543$ [–]. Descărcare la 100 kPa: $v = 1{,}543 + 0{,}035\ln 4 = 1{,}591$ [–].
$v_{cs}(100) = 2{,}06 - 0{,}093\ln 100 = 1{,}632$. $\psi = 1{,}591 - 1{,}632 = -0{,}041$ [–] ⇒ **uscată** ($R_p = 400/100 = 4$ [–]).

b) Nedrenat: $v$ = const = 1,591 [–]. Pe CSL: $1{,}591 = 2{,}06 - 0{,}093\ln p'_{cs}$ ⇒ $\ln p'_{cs} = 5{,}043$ ⇒ $p'_{cs} = 155$ kPa (a **crescut** de la 100 — $\Delta u<0$). $q_{cs} = 0{,}95\cdot155 = 147$ kPa; $c_u = 74$ kPa.

c) NC la 100 kPa: $v = 2{,}10 - 0{,}093\ln100 = 1{,}672$ [–]. $\psi = +0{,}040$ [–], udă. Nedrenat: $1{,}672 = 2{,}06 - 0{,}093\ln p'_{cs}$ ⇒ $p'_{cs} = 65$ kPa (a **scăzut**); $q_{cs} = 62$ kPa; $c_u = 31$ kPa; $c_u/p'_0 = 31/100 = 0{,}31$ [–].

Aceeași argilă, același $p'$ inițial, dar $c_u$ de 74 kPa față de 31 kPa — doar din cauza istoriei. Și am obținut aceste numere **fără niciun model**, doar din poziția CSL.
````

```{exercise}
:label: ex4_4
Explicați de ce formula $c_u = \tfrac{1}{2} M \exp\!\left(\dfrac{\Gamma - v}{\lambda}\right)$ este adevărată pentru orice probă saturată forfecată nedrenat până la stare critică, și verificați-o pe datele de la {ref}`ex4_3`.
```

````{solution} ex4_4
:class: dropdown
Nedrenat ⇒ $v$ constant. La stare critică, $v = \Gamma - \lambda\ln p'_{cs}$ ⇒ $p'_{cs} = \exp[(\Gamma-v)/\lambda]$. Apoi $q_{cs} = Mp'_{cs}$ și $c_u = q_{cs}/2$. Nu am presupus nimic despre drum — doar că ajunge pe CSL.

Verificare b): $\exp[(2{,}06-1{,}591)/0{,}093] = \exp(5{,}043) = 155$ kPa ✓; $c_u = 0{,}475\cdot155 = 74$ kPa ✓.

Aceasta este cea mai importantă formulă din Partea II: **rezistența nedrenată este o funcție de volumul specific**. Cine știe $v$ (din umiditate! $v = 1 + w\,\gamma_s/\gamma_w$) și cei trei parametri $M$, $\Gamma$, $\lambda$ știe $c_u$.
````

```{exercise}
:label: ex4_5
**Cu date de laborator.** Trei epruvete din aceeași argilă remaniată au fost forfecate drenat în triaxial până la deformații mari, la care eforturile și volumul nu se mai schimbau. La sfârșit s-au notat eforturile efective și, după demontare, umiditatea ($\gamma_s = 27{,}5$ kN/m³, $\gamma_w = 10$ kN/m³, probe saturate):

| Epruveta | $\sigma'_r$ [kPa] | $\sigma'_a$ [kPa] | $w$ [%] |
|---|---|---|---|
| 1 | 65 | 169 | 30,8 |
| 2 | 162 | 427 | 26,8 |
| 3 | 391 | 1018 | 23,0 |

a) Calculați pentru fiecare $p'$, $q$ [kPa] și $v$ [–].
b) Determinați $M$ [–] și $\varphi'_{cs}$ [°].
c) Determinați $\lambda$ și $\Gamma$ [–].
d) Ce rezistență nedrenată $c_u$ [kPa] ar avea o probă din aceeași argilă cu $w = 28\,\%$?
```

````{solution} ex4_5
:class: dropdown
a) $p' = (\sigma'_a + 2\sigma'_r)/3$, $q = \sigma'_a - \sigma'_r$, $v = 1 + w\,\gamma_s/\gamma_w$:

| Epruveta | $p'$ [kPa] | $q$ [kPa] | $q/p'$ [–] | $v$ [–] |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 99,7 | 104 | 1,04 | 1,847 |
| 2 | 250 | 265 | 1,06 | 1,737 |
| 3 | 600 | 627 | 1,05 | 1,633 |

b) Raportul $q/p'$ este practic același la toate: $M \approx 1{,}05$ [–]. $\sin\varphi'_{cs} = 3M/(6 + M) = 3{,}15/7{,}05 = 0{,}447 \Rightarrow \varphi'_{cs} = 26{,}5°$.

c) Între epruvetele 1 și 3: $\lambda = (1{,}847 - 1{,}633)/\ln(600/99{,}7) = 0{,}214/1{,}795 = 0{,}12$ [–]. (Epruveta 2 verifică: $1{,}847 - 0{,}12\ln(250/99{,}7) = 1{,}737$ ✓.) Apoi $\Gamma = v + \lambda \ln p' = 1{,}847 + 0{,}12 \ln 99{,}7 = 2{,}40$ [–].

d) $v = 1 + 0{,}28 \cdot 2{,}75 = 1{,}770$ [–]. Cu formula din {ref}`ex4_4`: $p'_{cs} = \exp[(2{,}40 - 1{,}770)/0{,}12] = \exp(5{,}25) = 191$ kPa; $c_u = \tfrac12 \cdot 1{,}05 \cdot 191 = 100$ kPa.

Din trei încercări am obținut trei dintre cei cinci parametri. Observă cât de sensibil este rezultatul de la d) la umiditate: cu $w = 29\,\%$ ar ieși $c_u = 80$ kPa. Un punct procentual de umiditate înseamnă 20 % din rezistență.
````