(volum_specific)=
# A treia axă: $v$

```{admonition} Intuiție
:class: tip
Planul $p'$–$q$ spune **cât de tare** este strâns și forfecat pământul, dar nu și **cât de îndesat** este. Două probe pot fi în același punct $(p', q)$ și să se comporte complet diferit — una afânată, una îndesată. Ne trebuie a treia axă, care iese din foaie: volumul specific $v$.
```

## Spațiul $(p', q, v)$

Starea completă a unui element de pământ saturat este dată de trei numere:

- $p'$ — cât de tare este strâns;
- $q$ — cât de tare este forfecat;
- $v$ — cât de mult loc ocupă (câte goluri are).

Toată teoria stării critice se desfășoară în acest spațiu tridimensional. Pentru că trei dimensiuni sunt greu de desenat, lucrăm aproape mereu cu **două proiecții**:

1. planul $q$–$p'$ („planul eforturilor”) — unde desenăm drumurile de eforturi și înfășurătoarea de cedare;
2. planul $v$–$p'$ (sau, mai bine, $v$–$\ln p'$, „planul de compresiune”) — unde desenăm NCL, URL și cum se schimbă volumul.

Un drum de eforturi complet are o urmă în **fiecare** dintre cele două planuri; privite împreună, ele descriu drumul 3D.

```{figure} ../figures/svg/spatiu_pqv.svg
---
width: 85%
name: fig_pqv
---
Spațiul $(p', v, q)$ și cele două proiecții (Weald Clay). Podeaua este planul de compresiune $v$–$p'$ (acolo $q = 0$); peretele din spate este planul eforturilor $q$–$p'$. Linia de compresiune normală (NCL, portocaliu) stă pe podea. Linia stării critice (CSL, negru) este o curbă în spațiu; liniile întrerupte negre sunt proiecțiile ei pe cele două plane. Un drum drenat pe argilă NC (albastru) pleacă de pe NCL și urcă până la CSL; proiecția lui pe perete este dreapta 3:1, iar proiecția pe podea arată cum scade $v$.
```

## De ce $\ln p'$ și nu $p'$

Am văzut în {ref}`lambda_kappa`: compresiunea pământului este liniară în logaritmul efortului. Alegând $\ln p'$ pe orizontală, NCL, URL și CSL devin **drepte paralele** în planul de compresiune — ceea ce face desenul și algebra mult mai simple. În planul eforturilor păstrăm $p'$ liniar, pentru că acolo liniile importante trec prin origine și sunt drepte în $p'$.

## Nedrenat = orizontală în planul de compresiune

În încercarea nedrenată $v$ = const. Deci, în planul $v$–$\ln p'$, drumul este o **dreaptă orizontală**: pământul se deplasează stânga–dreapta (schimbă $p'$ prin $\Delta u$) la $v$ fix, până lovește CSL. Aceasta este cea mai elegantă imagine a încercării nedrenate și o vom exploata din plin în cap. 7: **știind $v$, știm unde pe CSL va ceda, deci știm $p'_{cs}$, deci știm $q_{cs}$, deci știm $c_u$.**

## Drenat = coboară (sau urcă) spre CSL

În încercarea drenată, $v$ se schimbă: argila NC coboară (se contractă) spre CSL, argila OC urcă (se dilată) spre CSL. În ambele cazuri drumul se termină **pe** CSL — de aceea CSL este, în planul de compresiune, „locul unde se opresc toate drumurile”.

```{admonition} Rezumat
:class: important
- Starea = $(p', q, v)$. Două proiecții: $q$–$p'$ și $v$–$\ln p'$.
- Nedrenat: orizontală în $v$–$\ln p'$. Drenat: coboară (NC) sau urcă (OC).
- Toate drumurile se termină pe CSL.
```