(hvorslev)=
# Partea „uscată”: suprafața Hvorslev și limita de întindere

```{admonition} Intuiție
:class: tip
Suprafața Roscoe mărginește stările dinspre partea presiunilor mari. Dar ce oprește o probă puternic supraconsolidată, aflată departe, la presiuni mici? Dacă ar fi doar frecare, rezistența ei ar scădea spre zero odată cu presiunea. Laboratorul arată altceva: o argilă îndesată ține un efort deviator considerabil chiar la presiuni mici. Rezistența ei are două părți: una care crește cu presiunea (frecare) și una care depinde de **cât de îndesată** este proba.
```

## Unde se opresc probele supraconsolidate

Probele normal consolidate și ușor supraconsolidate sunt „ude” ($\psi > 0$, vezi {ref}`stare`): ajung la CSL dinspre dreapta, pe suprafața Roscoe. Probele puternic supraconsolidate sunt „uscate” ($\psi < 0$): pornesc din stânga punctului de stare critică în planul normalizat, iar drumul lor urcă **deasupra** dreptei $q = Mp'$ înainte de a coborî la ea. Acesta este vârful de rezistență din {ref}`afanat_indesat`.

Hvorslev (1937) a pus în același desen vârfurile de rezistență ale multor probe de argilă, cu umidități diferite la cedare. A observat că, dacă eforturile se raportează la presiunea echivalentă, toate vârfurile cad pe **o dreaptă**:

$$
\boxed{\,\frac{q}{p'_e} = g + h\,\frac{p'}{p'_e}\,}
$$

cu $g$ [–] și $h$ [–] constante ale pământului. Aceasta este **suprafața Hvorslev**. Ea trebuie să treacă prin punctul de stare critică, ceea ce leagă $g$ de $h$:

$$
g = (M - h)\,\exp\!\left(\frac{\Gamma - N}{\lambda}\right) .
$$

Rămâne deci **un singur parametru nou**, panta $h$ [–], cu $h < M$. El se obține din vârfurile încercărilor pe probe supraconsolidate.

```{admonition} Valoarea lui $h$ folosită aici
:class: warning
Pentru exemple și figuri luăm $h = 0{,}6$ [–] la Weald Clay, de unde $g = (0{,}95 - 0{,}6) \cdot 0{,}65 = 0{,}228$ [–]. Este o valoare **ilustrativă**, aleasă ca ordin de mărime; pentru un pământ real $h$ se determină din încercări.
```

## „Coeziunea” care depinde de umiditate

Scriem suprafața Hvorslev înapoi în kPa, înmulțind cu $p'_e$:

$$
q = \underbrace{h\,p'}_{\text{frecare}} + \underbrace{(M - h)\,\exp\!\left(\frac{\Gamma - v}{\lambda}\right)}_{\text{termen care depinde numai de } v}\quad [\text{kPa}] .
$$

Are exact forma criteriului Mohr–Coulomb, $\tau = \sigma' \tan\varphi' + c'$: un termen proporțional cu efortul și unul constant. Diferența esențială este că termenul „constant” **nu este o constantă a pământului**. El depinde de volumul specific, adică de umiditate:

| $v$ [–] | $w$ [%] (cu $\gamma_s = 27{,}5$ kN/m³) | $(M-h)\exp[(\Gamma-v)/\lambda]$ [kPa] |
|---|---|---|
| 1,65 | 23,6 | 29 |
| 1,60 | 21,8 | 49 |
| 1,55 | 20,0 | 84 |
| 1,50 | 18,2 | 144 |

O scădere a umidității cu circa 5 puncte procentuale (de la 23,6 % la 18,2 %) mărește acest termen de cinci ori. Aceasta este explicația pe care teoria stării critice o dă „coeziunii” argilelor supraconsolidate: nu este un lipici între particule, ci efectul îndesării. Dacă argila absoarbe apă și se umflă ($v$ crește), „coeziunea” scade — exact ce se observă la taluzurile în argile rigide, care cedează după ani de zile.

```{admonition} Legătura cu capitolul 3
:class: note
În primul exercițiu din capitolul 3 ({ref}`ex3_1`) am tras o dreaptă prin vârfurile a trei probe de nisip și am obținut o „coeziune” aparentă de circa 25 kPa, deși nisipul nu are coeziune. Mecanismul este același: probele au cedat la îndesări diferite față de starea critică, iar dreapta prin vârfuri a amestecat efectul presiunii cu efectul îndesării.
```

## Limita de întindere

Suprafața Hvorslev nu poate continua până la $p' = 0$. Într-o încercare triaxială de compresiune, efortul radial efectiv nu poate deveni negativ: pământul nu ține întindere. La limită, $\sigma'_r = 0$ kPa, iar din definițiile din {ref}`p_q`:

$$
p' = \frac{\sigma'_a + 2\cdot 0}{3} = \frac{\sigma'_a}{3}, \qquad q = \sigma'_a - 0 = \sigma'_a
\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,q = 3p'\,}
$$

Stările aflate deasupra dreptei $q = 3p'$ ar cere întindere în scheletul solid și sunt imposibile. Aceasta este **limita de întindere** (*tension cut-off*). Lângă ea, proba se fisurează și se rupe în blocuri; ideea de „mediu continuu” nu mai descrie bine ce se întâmplă.

Suprafața Hvorslev întâlnește limita de întindere acolo unde $3\,p'/p'_e = g + h\,p'/p'_e$:

$$
\frac{p'}{p'_e} = \frac{g}{3 - h} = \frac{0{,}228}{2{,}4} = 0{,}095\ [\text{–}], \qquad \frac{q}{p'_e} = 0{,}285\ [\text{–}].
$$

## Granița completă, în planul normalizat

```{figure} ../figures/svg/sbs_normalizat.svg
---
width: 85%
name: fig_sbs_normalizat
---
Suprafața de stare limită a argilei Weald în planul normalizat. Trei porțiuni: limita de întindere $q = 3p'$ (gri), suprafața Hvorslev (roșu) și suprafața Roscoe (portocaliu). Punctul negru este linia stării critice, văzută „din capăt”. Dreapta întreruptă $q/p' = M$ desparte stările „uscate” (stânga) de cele „ude” (dreapta).
```

| Porțiune | Între | Ecuație în planul normalizat [–] | Cine ajunge pe ea |
|---|---|---|---|
| limita de întindere | origine și $p'/p'_e = 0{,}095$ | $q/p'_e = 3\,p'/p'_e$ | probe foarte puternic supraconsolidate, la presiuni foarte mici |
| suprafața Hvorslev | $0{,}095$ și $0{,}65$ | $q/p'_e = g + h\,p'/p'_e$ | probe supraconsolidate („uscate”), la vârf |
| suprafața Roscoe | $0{,}65$ și $1$ | curba din {ref}`roscoe` | probe normal consolidate și ușor supraconsolidate („ude”) |

## Un exemplu urmărit până la capăt

Probă de Weald Clay consolidată izotrop la $p'_0 = 800$ kPa și descărcată la $p' = 50$ kPa ($R_p = 16$ [–]).

- Volumul specific: $v = 2{,}100 - 0{,}093 \ln 800 + 0{,}035 \ln 16 = 1{,}575$ [–].
- Presiunea echivalentă: $p'_e = \exp[(2{,}100 - 1{,}575)/0{,}093] = 282$ kPa.
- Poziția în planul normalizat: $p'/p'_e = 50/282 = 0{,}18$ [–], adânc în partea „uscată” ($\psi = -0{,}12$ [–]).

**Forfecare nedrenată.** $v$ și deci $p'_e$ rămân constante. Cât timp proba este în interiorul suprafeței, se comportă elastic și $p'$ nu se schimbă (vom vedea de ce în {ref}`suprafata_completa`): drumul urcă vertical la $p' = 50$ kPa până atinge suprafața Hvorslev, la

$$
q = 0{,}228 \cdot 282 + 0{,}6 \cdot 50 = 64 + 30 = 94\ \text{kPa}, \qquad q/p' = 1{,}88\ [\text{–}] .
$$

Raportul de eforturi este aproape dublul lui $M$. De aici proba se mișcă **de-a lungul** suprafeței Hvorslev spre starea critică: presiunea apei scade, $p'$ crește până la $p'_{cs} = 0{,}65 \cdot 282 = 183$ kPa, iar $q$ până la $q_{cs} = 0{,}95 \cdot 183 = 174$ kPa. Rezistența nedrenată este $c_u = 87$ kPa, de aproape șase ori mai mare decât a unei probe NC aflate la aceeași presiune de 50 kPa ($0{,}31 \cdot 50 = 15$ kPa).

**Forfecare drenată.** Drumul este dreapta 3:1 din $p' = 50$ kPa. El atinge suprafața Hvorslev la $p' \approx 97$ kPa și $q \approx 140$ kPa (calculul, care ține seama de mica scădere elastică a lui $v$, este în {ref}`ex_suprafata`). Acesta este **vârful**. Apoi proba se dilată, $p'_e$ scade, iar starea coboară înapoi pe aceeași dreaptă 3:1 până la CSL, la $p'_{cs} = 3 \cdot 50/(3 - 0{,}95) = 73$ kPa și $q_{cs} = 70$ kPa.

Aceeași probă are deci un vârf drenat de 140 kPa și o rezistență finală de 70 kPa. Un proiect care se bazează pe vârf contează pe o rezistență care se pierde la deformații mari.

```{admonition} Cât de bine descrie teoria partea „uscată”?
:class: warning
Mai puțin bine decât partea „udă”. În probele supraconsolidate deformația se concentrează, după vârf, în benzi subțiri de forfecare. În bandă pământul ajunge la stare critică, dar restul probei nu, iar volumul și eforturile măsurate la exteriorul probei sunt medii. Suprafața Hvorslev rămâne o descriere bună a **vârfurilor**; ce se întâmplă după vârf trebuie privit cu rezervă.
```

```{admonition} Rezumat
:class: important
- Vârfurile probelor supraconsolidate cad, în planul normalizat, pe o dreaptă: **suprafața Hvorslev**, $q/p'_e = g + h\,p'/p'_e$ [–], cu un singur parametru nou, $h$ [–].
- În kPa, ea are forma Mohr–Coulomb, dar „coeziunea” $(M-h)\exp[(\Gamma - v)/\lambda]$ [kPa] depinde de volumul specific, deci de umiditate.
- Pământul nu ține întindere: $q \le 3p'$ (**limita de întindere**).
- Limita de întindere, suprafața Hvorslev și suprafața Roscoe formează împreună **suprafața de stare limită**.
```