(ingrediente)=
# Patru ingrediente

```{admonition} Intuiție
:class: tip
Îndoaie puțin o agrafă de birou și dă-i drumul: revine. Îndoaie-o mai tare: rămâne îndoită, iar ca s-o îndoi și mai mult trebuie să apeși mai tare decât prima dată. În aceste trei propoziții sunt toate ideile plasticității: o zonă **elastică**, o **limită** de la care deformația rămâne, o **direcție** în care materialul cedează și o **întărire** care mută limita mai departe.
```

## Lista

Orice model elasto-plastic, pentru oțel sau pentru pământ, răspunde la patru întrebări:

| Ingredient | Întrebarea | Răspunsul Cam-Clay | Îl avem deja? |
|---|---|---|---|
| 1. **Elasticitatea** | Cum se deformează materialul cât timp deformația este recuperabilă? | volumic: după URL, cu panta $\kappa$ [–]; la forfecare: cu un modul $G$ [kPa] | da ({ref}`lambda_kappa`) |
| 2. **Curba de curgere** | La ce combinații $(p', q)$ începe deformația permanentă? | o curbă în planul $q$–$p'$, a cărei mărime este dată de $p'_0$ [kPa] | doar repere ({ref}`suprafata_completa`) |
| 3. **Regula de curgere** | Când curge, **în ce direcție** se deformează: cât volum și câtă forfecare? | raportul $\delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p$ [–] depinde numai de $\eta = q/p'$ | **nu** |
| 4. **Întărirea** | Cum se mută curba de curgere când materialul curge? | $p'_0$ crește când proba se contractă plastic, după NCL | da ({ref}`lambda_kappa`) |

Ne lipsesc ingredientele 2 și 3. Vom vedea că sunt legate: dacă îl știm pe 3, îl putem **calcula** pe 2.

## Deformații elastice și deformații plastice

Orice mică deformație o despărțim în două părți:

$$
\delta\varepsilon_v = \delta\varepsilon_v^e + \delta\varepsilon_v^p, \qquad
\delta\varepsilon_s = \delta\varepsilon_s^e + \delta\varepsilon_s^p \qquad [\text{–}] .
$$

Indicele $e$ înseamnă *elastic* (se recuperează la descărcare), indicele $p$ înseamnă *plastic* (rămâne). $\varepsilon_v$ este deformația de volum, iar $\varepsilon_s$ deformația de forfecare, definite în {ref}`p_q`. Simbolul $\delta$ înseamnă „o mică variație”: modelul lucrează în pași mici, pentru că răspunsul pământului depinde de starea în care se află la fiecare pas.

## Ingredientul 1: elasticitatea

**Volumul.** Pe o linie de descărcare–reîncărcare, $v = v_\kappa - \kappa\ln p'$. Pentru o mică variație a lui $p'$:

$$
\boxed{\,\delta\varepsilon_v^e = \frac{\kappa}{v}\,\frac{\delta p'}{p'}\,}
\qquad\text{adică}\qquad K' = \frac{v\,p'}{\kappa}\ [\text{kPa}] .
$$

$K'$ este modulul de deformație volumică. Nu este o constantă: crește proporțional cu $p'$. Pentru Weald Clay la $v = 1{,}60$ [–] și $p' = 200$ kPa, $K' = 1{,}60 \cdot 200/0{,}035 = 9\,140$ kPa.

**Forfecarea.** Avem nevoie de încă o constantă elastică, pe care teoria stării critice nu o dă:

$$
\boxed{\,\delta\varepsilon_s^e = \frac{\delta q}{3G}\,}
$$

unde $G$ [kPa] este modulul de forfecare. În practică se alege fie $G$ constant, fie, mai des, un coeficient al lui Poisson $\nu'$ [–] constant, din care

$$
G = \frac{3\,(1 - 2\nu')}{2\,(1 + \nu')}\,K' .
$$

Cu $\nu' = 0{,}3$ [–], $G = 0{,}46\,K'$; în exemplul de mai sus, $G = 4\,220$ kPa. Acesta este „al șaselea parametru” pomenit în {ref}`tabel`.

```{admonition} Două proprietăți ale părții elastice
:class: note
- Variația de volum depinde **numai de $p'$**, iar cea de forfecare **numai de $q$**. În interiorul curbei de curgere, forfecarea nu schimbă volumul.
- De aici rezultă ce am folosit în {ref}`suprafata_completa`: nedrenat și elastic înseamnă $\delta\varepsilon_v^e = 0$, deci $\delta p' = 0$. Drumul de eforturi efective urcă vertical.
```

## Ingredientul 4: întărirea

Îl avem din edometru. Când o probă este împinsă de-a lungul NCL de la $p'_0$ la $p'_0 + \delta p'_0$, partea plastică a deformației de volum este (vezi {ref}`lambda_kappa`):

$$
\boxed{\,\delta\varepsilon_v^p = \frac{\lambda - \kappa}{v}\,\frac{\delta p'_0}{p'_0}\,}
$$

Citită invers, relația spune cum se schimbă „memoria” pământului: **$p'_0$ crește când proba se contractă plastic și scade când se dilată plastic**. Cam-Clay face aici o ipoteză importantă: nu contează **cum** a apărut deformația plastică de volum, prin compresiune sau prin forfecare. Efectul asupra lui $p'_0$ este același.

De ce numai volumul? Pentru că, în acest model, starea internă a pământului este descrisă de un singur număr, îndesarea. Deformația plastică de forfecare, oricât de mare, nu schimbă $p'_0$ dacă volumul nu se schimbă. Exact asta se întâmplă la stare critică.

## Ce urmează

Rămân de găsit regula de curgere și curba de curgere. Pentru prima avem nevoie de o idee fizică nouă, pe pagina următoare.

```{admonition} Rezumat
:class: important
- Un model elasto-plastic are patru ingrediente: elasticitate, curbă de curgere, regulă de curgere, întărire.
- Elastic: $\delta\varepsilon_v^e = (\kappa/v)\,\delta p'/p'$ și $\delta\varepsilon_s^e = \delta q/(3G)$.
- Întărire: $\delta\varepsilon_v^p = [(\lambda-\kappa)/v]\,\delta p'_0/p'_0$; numai deformația plastică **de volum** schimbă $p'_0$.
- Singura constantă nouă este $G$ [kPa] (sau $\nu'$ [–]).
```