(intarire)=
# Întărirea și suprafața de stare limită, regăsită

```{admonition} Intuiție
:class: tip
Curba de curgere nu este un gard fix. Este mai degrabă un balon: când starea apasă pe el dinspre partea „udă”, balonul se umflă și proba poate duce mai mult; dinspre partea „uscată”, balonul se dezumflă și proba slăbește. Cât se umflă depinde de un singur lucru: cu cât și-a micșorat proba, definitiv, volumul.
```

## Curba de curgere se mișcă

Avem acum toate cele patru ingrediente. Să le vedem lucrând împreună pe încercarea cea mai simplă: o probă normal consolidată de Weald Clay, la $p'_0 = 200$ kPa, forfecată drenat.

Proba pornește din $(200;\ 0)$, care este chiar capătul elipsei ei. Orice creștere a lui $q$ scoate starea în afara elipsei, ceea ce nu este permis. Singura posibilitate este ca elipsa să crească odată cu starea: proba curge plastic, se contractă, iar $p'_0$ crește exact cât trebuie pentru ca starea să rămână **pe** curbă. Din ecuația elipsei, mărimea ei este dată în fiecare moment de starea curentă:

$$
p'_0 = p' + \frac{q^2}{M^2\,p'} \quad [\text{kPa}] .
$$

| Starea pe drumul 3:1 | $p'$ [kPa] | $q$ [kPa] | $\eta$ [–] | $p'_0$ [kPa] |
|---|---|---|---|---|
| început | 200 | 0 | 0 | 200 |
| | 230 | 90 | 0,39 | 269 |
| | 260 | 180 | 0,69 | 398 |
| stare critică | 293 | 278 | 0,95 | 585 |

```{figure} ../figures/svg/intarire.svg
---
width: 85%
name: fig_intarire
---
Întărirea într-o încercare drenată pe o probă normal consolidată (Weald Clay, $p'_0$ inițial 200 kPa). Pe măsură ce starea urcă pe drumul 3:1, curba de curgere crește: numerele de pe axă sunt valorile succesive ale lui $p'_0$ [kPa]. La stare critică starea ajunge în vârful elipsei și creșterea se oprește.
```

Curba de curgere a crescut de aproape trei ori. Proba de la sfârșit este, din punctul de vedere al modelului, **alt pământ** decât cea de la început: mai îndesat, cu o zonă elastică mult mai mare. Dacă am descărca-o și am reîncărca-o, s-ar comporta elastic până la noua elipsă.

De ce se oprește creșterea la stare critică? Întărirea depinde de deformația plastică de volum, iar regula de curgere spune că la $\eta = M$ aceasta este zero. Starea este în vârful elipsei, vectorul deformației este vertical, $p'_0$ nu se mai schimbă, și proba curge la eforturi și volum constante. **Starea critică nu este o ipoteză separată a modelului; rezultă din regula de curgere și din regula de întărire.**

Pe partea „uscată” povestea este în oglindă: starea atinge elipsa în stânga vârfului, regula de curgere dă dilatare, deci $p'_0$ **scade**. Elipsa se micșorează, iar starea, care trebuie să rămână pe ea, coboară: proba se înmoaie după vârf, până când ajunge tot în vârful unei elipse, pe linia stării critice.

## Suprafața de stare limită, dedusă

În capitolul 5 suprafața Roscoe a fost un rezultat de laborator. Acum o putem calcula. O stare care curge se află simultan:

- pe o linie de descărcare–reîncărcare: $v = N - \lambda\ln p'_0 + \kappa\ln(p'_0/p')$;
- pe elipsa cu același $p'_0$: $p'_0/p' = 1 + \eta^2/M^2$.

Eliminăm $p'_0$ între cele două:

$$
\boxed{\,v = N - \lambda\ln p' - (\lambda - \kappa)\,\ln\!\left(1 + \frac{\eta^2}{M^2}\right)\,}
$$

Aceasta este ecuația suprafeței de stare limită a modelului Cam-Clay modificat: leagă cele trei coordonate $p'$, $q$ (prin $\eta$) și $v$ ale oricărei stări care curge plastic. Cu presiunea echivalentă $p'_e = \exp[(N - v)/\lambda]$ din {ref}`roscoe`, ea devine

$$
\frac{p'}{p'_e} = \left(\frac{M^2}{M^2 + \eta^2}\right)^{(\lambda-\kappa)/\lambda} ,
$$

adică exact formula pe care am dat-o „ca anticipare” în capitolul 5 și cu care am desenat toate figurile de acolo.

Trei consecințe imediate:

**1. Linia de compresiune normală.** La $\eta = 0$ ultimul termen dispare: $v = N - \lambda\ln p'$. Suprafața se sprijină pe NCL.

**2. Linia stării critice și legătura dintre $N$ și $\Gamma$.** La $\eta = M$:

$$
v = N - (\lambda-\kappa)\ln 2 - \lambda\ln p' .
$$

Este o dreaptă paralelă cu NCL, cum am observat experimental în {ref}`csl`. Comparând cu $v = \Gamma - \lambda\ln p'$:

$$
\boxed{\,N - \Gamma = (\lambda - \kappa)\,\ln 2\,}
$$

Am demonstrat relația folosită în {ref}`tabel`. Pentru Weald Clay: $0{,}058 \cdot 0{,}693 = 0{,}040$ [–]. Modelul nu are deci nevoie de $N$ și de $\Gamma$ separat: unul îl dă pe celălalt. Cu modelul original, același calcul (curba de curgere taie CSL la $p'_0/2{,}72$, iar $\ln 2{,}72 = 1$) dă $N - \Gamma = \lambda - \kappa$.

**3. Compresiunea în edometru.** În edometru raportul de eforturi este constant, $\eta_{K_0} = 3(1-K_0)/(1+2K_0)$ (vezi {ref}`cai_de_eforturi`). Ultimul termen este atunci o constantă, deci linia de compresiune edometrică este **paralelă** cu NCL și puțin sub ea. Pentru $K_0 = 0{,}6$ [–]: $\eta_{K_0} = 0{,}545$ [–] și decalajul este $0{,}058 \cdot \ln(1 + 0{,}297/0{,}9025) = 0{,}017$ [–]. Linia edometrică stă deci între NCL ($N = 2{,}100$) și CSL ($\Gamma = 2{,}060$), la $2{,}083$. Este răspunsul la întrebarea lăsată deschisă în {ref}`ncl_url`.

## Drumul nedrenat

La volum constant, deformația elastică de volum și cea plastică se anulează reciproc: $\delta\varepsilon_v^e + \delta\varepsilon_v^p = 0$. Mai simplu, punem $v$ = constant în ecuația suprafeței. Pentru o probă normal consolidată la $p'_0$:

$$
\frac{p'}{p'_0} = \left(\frac{M^2}{M^2 + \eta^2}\right)^{(\lambda-\kappa)/\lambda} .
$$

Este ecuația drumurilor din {numref}`fig_cai_nedrenate`. La stare critică, $p'_{cs}/p'_0 = 2^{-(\lambda-\kappa)/\lambda} = 2^{-0{,}624} = 0{,}65$ [–]: raportul pe care în {ref}`familii` l-am obținut din paralelismul NCL–CSL.

Observă exponentul $(\lambda-\kappa)/\lambda$. Dacă pământul ar fi fără nicio revenire elastică ($\kappa = 0$), drumul nedrenat ar fi chiar elipsa. Cu cât $\kappa$ este mai mare, cu atât drumul se abate mai puțin spre stânga, adică presiunea apei din pori crește mai puțin.

## Unde modelul nu mai este de încredere

Elipsa continuă și în stânga vârfului, până în origine. Modelul spune deci că o probă puternic supraconsolidată rămâne elastică până la elipsă, mult deasupra liniei stării critice. Să comparăm cu ce am învățat în {ref}`hvorslev`, pe proba cu $p'_0 = 800$ kPa descărcată la $p' = 50$ kPa:

| | $q$ la curgere [kPa] | $q/p'$ [–] |
|---|---|---|
| elipsa Cam-Clay modificat: $0{,}95\sqrt{50 \cdot 750}$ | 184 | 3,7 |
| suprafața Hvorslev (cu $h = 0{,}6$) | 94 | 1,9 |
| limita de întindere $q = 3p'$ | 150 | 3,0 |

Elipsa dă o rezistență de vârf dublă față de cea observată și trece chiar de limita de întindere. **Pe partea „uscată”, Cam-Clay modificat supraestimează serios rezistența de vârf.** Pe partea „udă” (argile normal consolidate și ușor supraconsolidate, $R_p < 2$) se potrivește bine cu măsurătorile, și acolo este folosit cu încredere. Pentru argile rigide, programele înlocuiesc partea stângă a elipsei cu o suprafață de tip Hvorslev sau folosesc alte modele; revenim în capitolul 10.

```{admonition} Rezumat
:class: important
- Starea care curge rămâne pe curba de curgere; curba se mărește (întărire, „ud”) sau se micșorează (înmuiere, „uscat”) după semnul deformației plastice de volum.
- Starea critică rezultă din model: în vârful elipsei, deformația plastică de volum este zero și $p'_0$ nu se mai schimbă.
- Suprafața de stare limită: $v = N - \lambda\ln p' - (\lambda-\kappa)\ln(1 + \eta^2/M^2)$.
- $N - \Gamma = (\lambda-\kappa)\ln 2$ (modificat) sau $\lambda - \kappa$ (original).
- Modelul este bun pe partea „udă” și supraestimează rezistența pe partea „uscată”.
```