(lucru_mecanic)=
# Unde se duce lucrul mecanic: regula de curgere

```{admonition} Intuiție
:class: tip
Împinge o cutie grea pe podea. Tot efortul tău se pierde prin frecare: cutia nu înmagazinează nimic. Acum împinge-o în sus pe o rampă: o parte din efort se duce pe frecare, o parte pe ridicat. Pe o rampă care coboară, greutatea te ajută. Granulele unui pământ forfecat fac același lucru: dacă trebuie să se ridice una peste alta (dilatare), forfecarea cere mai mult efort decât frecarea singură; dacă pot coborî una lângă alta (contracție), cere mai puțin.
```

## Lucrul mecanic plastic

Când un element de pământ aflat la eforturile $(p', q)$ suferă o mică deformație plastică, lucrul mecanic cheltuit pe unitatea de volum este (vezi {ref}`p_q`):

$$
\delta W^p = p'\,\delta\varepsilon_v^p + q\,\delta\varepsilon_s^p \qquad [\text{kPa} = \text{kJ/m}^3] .
$$

Primul termen este lucrul efortului mediu la schimbarea volumului; al doilea, lucrul efortului deviator la schimbarea formei.

## Ipoteza Cam-Clay original

Roscoe, Schofield și Thurairajah (1963) au presupus că **tot** acest lucru mecanic se pierde prin frecare între granule, și că frecarea pierde la fel ca la stare critică, unde $q = Mp'$ și volumul nu se schimbă:

$$
\underbrace{p'\,\delta\varepsilon_v^p + q\,\delta\varepsilon_s^p}_{\text{lucrul cheltuit}}
= \underbrace{M\,p'\,\delta\varepsilon_s^p}_{\text{lucrul pierdut prin frecare}} .
$$

Împărțim la $p'\,\delta\varepsilon_s^p$ și notăm $\eta = q/p'$ [–]:

$$
\boxed{\,\frac{\delta\varepsilon_v^p}{\delta\varepsilon_s^p} = M - \eta\,}
$$

Aceasta este **regula de curgere** a modelului Cam-Clay original. Ea spune, pentru fiecare raport de eforturi, câtă deformație de volum însoțește o unitate de deformație de forfecare:

| Raportul de eforturi | $\delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p$ [–] | Ce face proba când curge |
|---|---|---|
| $\eta < M$ | pozitiv | se **contractă** (partea „udă”) |
| $\eta = M$ | zero | curge la volum constant: **stare critică** |
| $\eta > M$ | negativ | se **dilată** (partea „uscată”) |

Am regăsit, dintr-o singură ipoteză, tabloul din {ref}`afanat_indesat` și {ref}`stare`: starea critică este exact locul în care efortul deviator abia ajunge pentru frecare, fără nimic rămas pentru schimbarea volumului.

```{admonition} Aceeași idee, în cutia de forfecare
:class: note
Scrisă invers, regula este $\eta = M - \delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p$: raportul de eforturi pe care îl poate duce proba este frecarea ($M$) **plus** viteza de dilatare (dilatarea are $\delta\varepsilon_v^p < 0$). Taylor a scris în 1948 aceeași relație pentru cutia de forfecare: $\tau/\sigma'_n = \tan\varphi'_{cs} + \mathrm{d}y/\mathrm{d}x$, unde $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ este ridicarea capacului pe unitatea de deplasare. De aici vine vârful de rezistență al probelor îndesate: este frecare plus „urcatul rampei”.
```

## Ipoteza Cam-Clay modificat

Regula $M - \eta$ are un defect la $\eta = 0$. Într-o compresiune izotropă ($q = 0$) ea cere $\delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p = M$: proba ar trebui să se deformeze la forfecare deși o strângem egal din toate părțile. Nu se întâmplă așa.

Roscoe și Burland (1968) au corectat expresia lucrului pierdut, astfel încât la $\eta = 0$ să nu apară forfecare:

$$
p'\,\delta\varepsilon_v^p + q\,\delta\varepsilon_s^p
= p'\sqrt{(\delta\varepsilon_v^p)^2 + (M\,\delta\varepsilon_s^p)^2} .
$$

La stare critică ($\delta\varepsilon_v^p = 0$) membrul drept este tot $Mp'\,\delta\varepsilon_s^p$, ca înainte. Ridicând la pătrat și simplificând:

$$
\boxed{\,\frac{\delta\varepsilon_v^p}{\delta\varepsilon_s^p} = \frac{M^2 - \eta^2}{2\,\eta}\,}
$$

Aceasta este regula de curgere a modelului **Cam-Clay modificat**. Tabelul de mai sus rămâne valabil cuvânt cu cuvânt (contracție sub $M$, zero la $M$, dilatare peste $M$). Diferența este la capete: când $\eta \to 0$, raportul tinde la infinit, adică deformația plastică este **numai de volum**, cum trebuie.

```{figure} ../figures/svg/dilatanta.svg
---
width: 80%
name: fig_dilatanta
---
Regula de curgere în cele două variante (Weald Clay, $M = 0{,}95$): raportul dintre deformația plastică de volum și cea de forfecare, în funcție de raportul de eforturi. Ambele curbe trec prin zero la $\eta = M$. Sub $M$ proba se contractă, peste $M$ se dilată. La $\eta \to 0$ varianta originală dă valoarea finită $M$, iar cea modificată tinde la infinit (numai deformație de volum).
```

```{admonition} Exemplu
:class: note
O probă de Weald Clay curge plastic la $p' = 200$ kPa și $q = 100$ kPa, deci $\eta = 0{,}50$ [–].

- Cam-Clay original: $\delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p = 0{,}95 - 0{,}50 = 0{,}45$ [–].
- Cam-Clay modificat: $(0{,}9025 - 0{,}25)/(2 \cdot 0{,}50) = 0{,}65$ [–].

În ambele, proba se contractă. După modelul modificat, la fiecare 1 % de deformație plastică de forfecare apar 0,65 % deformație plastică de volum.
```

## Ce este și ce nu este această ipoteză

Ecuația lucrului mecanic nu este o lege a naturii. Este o **presupunere** simplă despre cum pierde energie un material granular, aleasă pentru că dă rezultate apropiate de măsurători. Cele două variante sunt două presupuneri diferite, iar faptul că a doua se potrivește mai bine cu argilele normal consolidate este un rezultat de laborator, nu o demonstrație. Modelele mai noi (capitolul 10) pornesc de la alte expresii ale energiei pierdute.

```{admonition} Rezumat
:class: important
- Ipoteza: lucrul mecanic plastic se pierde în întregime prin frecare.
- Rezultă regula de curgere: $\delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p = M - \eta$ (original) sau $(M^2-\eta^2)/(2\eta)$ (modificat).
- În ambele: contracție pentru $\eta < M$, volum constant la $\eta = M$, dilatare pentru $\eta > M$.
- Varianta modificată nu produce forfecare în compresiune izotropă.
```