(mcc)=
# Cam-Clay modificat: elipsa

```{admonition} Intuiție
:class: tip
Aceeași rețetă, cu cealaltă regulă de curgere. De data aceasta rezultatul este cea mai simplă curbă închisă pe care o putem desena între origine și $p'_0$: o **elipsă**. Pe axa $p'$ ajunge vertical, fără colț, deci o probă comprimată izotrop se deformează numai volumic.
```

## Deducerea

Regula de curgere a modelului modificat, din {ref}`lucru_mecanic`, și normalitatea dau:

$$
\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}p'} = -\,\frac{M^2 - \eta^2}{2\eta} .
$$

Ca înainte, $\mathrm{d}q/\mathrm{d}p' = \eta + p'\,\mathrm{d}\eta/\mathrm{d}p'$. Trecând $\eta$ în dreapta:

$$
p'\,\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}p'} = -\,\frac{M^2 + \eta^2}{2\eta}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{2\eta\,\mathrm{d}\eta}{M^2 + \eta^2} = -\,\frac{\mathrm{d}p'}{p'}
\quad\Longrightarrow\quad
\ln\left(M^2 + \eta^2\right) = -\ln p' + \text{const.}
$$

Cu condiția $\eta = 0$ la $p' = p'_0$:

$$
\boxed{\,\frac{p'}{p'_0} = \frac{M^2}{M^2 + \eta^2}\,}
$$

Înlocuind $\eta = q/p'$ și aranjând:

$$
\boxed{\,q^2 = M^2\,p'\,(p'_0 - p')\,}
\qquad\text{sau}\qquad q = M\sqrt{p'\,(p'_0 - p')}\quad[\text{kPa}] .
$$

## Citirea elipsei

- Trece prin origine și prin $(p'_0;\ 0)$. Centrul este la $p'_0/2$.
- Semiaxa orizontală este $p'_0/2$, cea verticală $M\,p'_0/2$.
- Vârful este la $p' = p'_0/2$ și $q = M\,p'_0/2$: exact pe linia stării critice. Pentru $p'_0 = 300$ kPa: vârful la (150 kPa; 142,5 kPa).
- **Mărimea** elipsei este dată de $p'_0$ (starea probei); **forma** ei, de $M$ (materialul). Toate curbele de curgere ale unui pământ sunt aceeași elipsă, mărită sau micșorată.

Am promis în {ref}`suprafata_completa` că vom explica de ce vârful curbei de curgere este la $p'_0/2$ pentru Weald Clay. Acolo rezultatul a ieșit din valorile lui $N$ și $\Gamma$; aici vedem că, în Cam-Clay modificat, este o proprietate a elipsei, valabilă pentru orice pământ.

| $p'$ [kPa] | 30 | 75 | 150 | 225 | 270 | 300 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $q$ pe elipsă [kPa] | 86 | 123 | 142,5 | 123 | 86 | 0 |
| $\eta = q/p'$ [–] | 2,85 | 1,65 | 0,95 | 0,55 | 0,32 | 0 |
| $\delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p$ [–] | −1,27 | −0,55 | 0 | +0,55 | +1,27 | $\infty$ |

(Tabel pentru $p'_0 = 300$ kPa și $M = 0{,}95$. Observă simetria: punctele aflate la aceeași distanță de centru au același $q$ și reguli de curgere egale și de semn contrar.)

## Cele două modele, față în față

| | Cam-Clay original | Cam-Clay modificat |
|---|---|---|
| lucrul pierdut | $M\,p'\,\delta\varepsilon_s^p$ | $p'\sqrt{(\delta\varepsilon_v^p)^2 + (M\delta\varepsilon_s^p)^2}$ |
| regula de curgere | $M - \eta$ | $(M^2 - \eta^2)/(2\eta)$ |
| curba de curgere | $q = M p' \ln(p'_0/p')$ | $q^2 = M^2 p'(p'_0 - p')$ |
| vârful (pe CSL) la | $p'_0/2{,}72$ | $p'_0/2$ |
| la $p'_0$ | colț | tangentă verticală |
| $N - \Gamma$ (pagina următoare) | $\lambda - \kappa$ | $(\lambda - \kappa)\ln 2$ |
| folosit astăzi | rar | în aproape toate programele |

În restul cărții „Cam-Clay” fără altă precizare înseamnă varianta modificată.

```{admonition} Dincolo de triaxial
:class: dropdown
În programele de element finit, elipsa se scrie cu invarianții din {ref}`p_q`: $f = q^2 - M^2 p'(p'_0 - p') = 0$. În spațiul celor trei eforturi principale ea devine un elipsoid de rotație în jurul axei $\sigma'_1 = \sigma'_2 = \sigma'_3$. Cu $M$ constant, secțiunea lui transversală este un cerc, ceea ce supraestimează rezistența în extensiune (unde $M_e < M_c$, vezi {ref}`csl`). Multe programe corectează acest lucru făcând $M$ să depindă de direcția de încărcare (unghiul Lode).
```

```{admonition} Rezumat
:class: important
- Cam-Clay modificat: curba de curgere este elipsa $q^2 = M^2 p'(p'_0 - p')$.
- Vârful este pe linia stării critice, la $p'_0/2$; pe axă elipsa ajunge vertical.
- $p'_0$ [kPa] dă mărimea, $M$ [–] dă forma.
- În dreapta vârfului („ud”) curgerea este cu contracție, în stânga („uscat”) cu dilatare.
```