(pas_cu_pas)=
# Modelul complet, pas cu pas

```{admonition} Intuiție
:class: tip
Un program de element finit nu „știe” mecanica pământurilor. Repetă de milioane de ori aceeași rețetă scurtă: primește o mică schimbare a eforturilor, verifică dacă starea a rămas în interiorul curbei de curgere și calculează deformațiile. Dacă poți face un pas cu creionul, înțelegi ce face programul.
```

## Ce descrie starea

Patru numere: eforturile $p'$ și $q$ [kPa], volumul specific $v$ [–] și presiunea de preconsolidare $p'_0$ [kPa]. Numai trei sunt independente, pentru că $v$, $p'$ și $p'_0$ sunt legate prin linia de descărcare–reîncărcare:

$$
v = N - \lambda\ln p'_0 + \kappa\ln\frac{p'_0}{p'} .
$$

## Rețeta pentru un pas

Se dă starea $(p', q, v, p'_0)$ și o mică schimbare de eforturi, care duce la $(p'_{nou}, q_{nou})$.

**Pasul 1 — elastic sau plastic?** Calculăm ce $p'_0$ ar cere noua stare ca să fie pe elipsă:

$$
p'_{0,\,cerut} = p'_{nou} + \frac{q_{nou}^2}{M^2\,p'_{nou}} .
$$

- Dacă $p'_{0,\,cerut} \le p'_0$: starea este în interiorul curbei de curgere. Pasul este **elastic**, $p'_0$ rămâne neschimbat.
- Dacă $p'_{0,\,cerut} > p'_0$: pasul este **elasto-plastic**, iar noua presiune de preconsolidare este $p'_{0,\,nou} = p'_{0,\,cerut}$.

**Pasul 2 — deformația de volum.**

$$
\delta\varepsilon_v^e = \frac{\kappa}{v}\ln\frac{p'_{nou}}{p'}, \qquad
\delta\varepsilon_v^p = \frac{\lambda-\kappa}{v}\ln\frac{p'_{0,\,nou}}{p'_0} .
$$

(Pentru pași mici, $\ln(b/a) \approx (b-a)/a$, și regăsim formulele din {ref}`ingrediente`.)

**Pasul 3 — deformația de forfecare.**

$$
\delta\varepsilon_s^e = \frac{q_{nou} - q}{3G}, \qquad
\delta\varepsilon_s^p = \delta\varepsilon_v^p\,\frac{2\eta}{M^2 - \eta^2} ,
$$

cu $\eta$ luat la mijlocul pasului.

**Pasul 4 — actualizare.** $v_{nou} = v\,(1 - \delta\varepsilon_v)$. Deformația axială din triaxial este $\delta\varepsilon_a = \delta\varepsilon_s + \delta\varepsilon_v/3$.

Aceasta este rețeta când **eforturile** sunt impuse (încercare drenată). Într-o încercare nedrenată se impune în schimb $\delta\varepsilon_v = 0$, iar $p'_{nou}$ este necunoscuta: se caută acel $p'$ pentru care $\delta\varepsilon_v^e + \delta\varepsilon_v^p = 0$.

## Un pas, cu numere

Probă normal consolidată de Weald Clay: $p' = p'_0 = 200$ kPa, $q = 0$ kPa, $v = 2{,}100 - 0{,}093\ln 200 = 1{,}607$ [–]. Elasticitate: $\nu' = 0{,}3$ [–]. Forfecare drenată cu $\sigma_r$ constant; creștem efortul deviator cu 30 kPa. Pe drumul 3:1, $p'$ crește cu 10 kPa.

**Starea nouă:** $p' = 210$ kPa, $q = 30$ kPa, $\eta = 0{,}143$ [–].

**Pasul 1.** $p'_{0,\,cerut} = 210 + 30^2/(0{,}9025 \cdot 210) = 210 + 4{,}7 = 214{,}7$ kPa. Este mai mare decât 200 kPa: pas elasto-plastic, $p'_0$ devine 214,7 kPa.

**Pasul 2.**

- $\delta\varepsilon_v^e = (0{,}035/1{,}607)\,\ln(210/200) = 0{,}02178 \cdot 0{,}0488 = 0{,}00106 = 0{,}11\,\%$
- $\delta\varepsilon_v^p = (0{,}058/1{,}607)\,\ln(214{,}7/200) = 0{,}03609 \cdot 0{,}0711 = 0{,}00257 = 0{,}26\,\%$
- total: $\delta\varepsilon_v = 0{,}36\,\%$ (contracție)

**Pasul 3.**

- $K' = v\,p'/\kappa = 1{,}607 \cdot 205/0{,}035 = 9\,410$ kPa (cu $p'$ la mijlocul pasului); $G = 0{,}46 \cdot 9\,410 = 4\,340$ kPa
- $\delta\varepsilon_s^e = 30/(3 \cdot 4\,340) = 0{,}00230 = 0{,}23\,\%$
- la mijlocul pasului $\eta = 0{,}071$ [–]: $2\eta/(M^2 - \eta^2) = 0{,}143/0{,}897 = 0{,}159$ [–], deci $\delta\varepsilon_s^p = 0{,}00257 \cdot 0{,}159 = 0{,}00041 = 0{,}04\,\%$
- total: $\delta\varepsilon_s = 0{,}27\,\%$

**Pasul 4.** $v = 1{,}607\,(1 - 0{,}0036) = 1{,}601$ [–]; $\delta\varepsilon_a = 0{,}27 + 0{,}36/3 = 0{,}39\,\%$.

**Verificare.** Din linia de descărcare–reîncărcare a noii stări: $v = 2{,}100 - 0{,}093\ln 214{,}7 + 0{,}035\ln(214{,}7/210) = 1{,}601$ [–] ✓.

| | de volum [%] | de forfecare [%] |
|---|---|---|
| elastică | 0,11 | 0,23 |
| plastică | 0,26 | 0,04 |
| **totală** | **0,36** | **0,27** |

Ce observăm la acest prim pas:

- deformația de volum este în majoritate **plastică**, cea de forfecare în majoritate **elastică**. Aproape de axa $p'$ vectorul deformației plastice este aproape orizontal: proba mai mult se îndeasă decât se forfecă;
- pe măsură ce $\eta$ crește, raportul $2\eta/(M^2 - \eta^2)$ crește și el, iar aproape de $\eta = M$ tinde la infinit: forfecarea plastică devine dominantă și proba „curge”.

Repetând pasul de câteva sute de ori se obține toată curba efort–deformație. Asta face codul de pe pagina următoare.

```{admonition} De ce pași mici
:class: warning
Formulele folosesc starea de la începutul (sau mijlocul) pasului, dar starea se schimbă chiar în timpul lui. Cu pași mari, erorile se adună și starea „alunecă” de pe curba de curgere. Programele serioase folosesc pași mici, își împart singure pașii și corectează abaterea la fiecare pas. Dacă un calcul cu Cam-Clay dă rezultate ciudate, primul lucru de încercat este micșorarea pasului de încărcare.
```

```{admonition} Rezumat
:class: important
- Starea: $(p', q, v, p'_0)$. Constantele: $M$, $\lambda$, $\kappa$, $N$ și $G$ (sau $\nu'$).
- La fiecare pas: (1) elastic sau plastic? (2) deformația de volum, elastică și plastică; (3) deformația de forfecare, elastică și plastică; (4) actualizare.
- La începutul forfecării unei probe NC domină îndesarea plastică; spre stare critică domină forfecarea plastică.
```