De la C_c, C_s la \lambda, \kappa

2.4. De la \(C_c\), \(C_s\) la \(\lambda\), \(\kappa\)#

Intuiție

Nimic nou aici — aceleași două drepte, aceleași pante. Schimbăm doar unitățile: pe verticală \(v\) în loc de \(e\) (translație cu 1), iar pe orizontală logaritm natural în loc de zecimal (schimbare de scară cu 2,303). Facem asta pentru că formulele teoriei, care conțin derivate, devin mult mai curate cu \(\ln\).

2.4.1. Definiții#

Teoria stării critice scrie cele două drepte astfel:

\[ \text{NCL:}\quad v = N - \lambda \ln p' \]
\[ \text{URL:}\quad v = v_\kappa - \kappa \ln p' \]

unde:

  • \(\lambda\) (lambda) este panta liniei de compresiune normală în planul \(v\)–\(\ln p'\) — adimensională [–], ca orice pantă dintre două mărimi adimensionale (\(v\) și \(\ln\) al unui raport de presiuni);

  • \(\kappa\) (kappa) este panta liniei de descărcare–reîncărcare [–];

  • \(N\) [–] este valoarea lui \(v\) pe NCL la \(p' = 1\) kPa: o constantă a materialului, care fixează poziția dreptei. Atenție: în \(\ln p'\), \(p'\) se citește „în kPa”, adică \(\ln(p'/1\ \text{kPa})\); de aceea \(N\) (și, mai târziu, \(\Gamma\)) depinde de unitatea aleasă pentru presiune;

  • \(v_\kappa\) fixează poziția unei anumite URL — fiecare presiune de preconsolidare are propria ei URL, deci \(v_\kappa\) nu este o constantă a materialului.

Despre \(p'\) în loc de \(\sigma'_v\)

Teoria folosește efortul mediu \(p' = (\sigma'_1+\sigma'_2+\sigma'_3)/3\), nu pe cel vertical, pentru că vrea să descrie orice stare de eforturi, nu doar edometrul. Îl definim riguros în Efortul mediu p' și efortul deviator q. Deocamdată reține că în edometru \(p' = \sigma'_v(1+2K_0)/3\), iar dacă \(K_0\) este constant, \(\ln p' = \ln\sigma'_v + \text{const}\) — deci panta dreptelor este aceeași indiferent dacă pe orizontală pui \(\sigma'_v\) sau \(p'\). Doar poziția (\(N\)) se schimbă.

2.4.2. Conversia#

Pentru că \(v = 1+e\) (deci \(\Delta v = \Delta e\)) și \(\ln x = 2{,}303 \log_{10} x\):

\[ \boxed{\,\lambda = \frac{C_c}{\ln 10} = \frac{C_c}{2{,}303}\,}, \qquad \boxed{\,\kappa \approx \frac{C_s}{\ln 10} = \frac{C_s}{2{,}303}\,} \]

„Aproximativ” la \(\kappa\) pentru că, strict, descărcarea în edometru nu este izotropă (variază și \(K_0\)), iar \(\kappa\) din Cam-Clay se referă la descărcare izotropă. În practică, diferența se ignoră.

2.4.3. Valori tipice#

Pământ (sursa)

\(\lambda\) [–]

\(\kappa\) [–]

\(\kappa/\lambda\) [–]

Weald Clay (Schofield & Wroth, 1968)

0,093

0,035

0,38

London Clay (Schofield & Wroth, 1968)

0,161

0,062

0,39

Kaolin (laborator, diverse surse)

0,19–0,26

0,03–0,05

~0,2

argilă moale NC, \(C_c = 0{,}4\)

0,17

~0,02–0,03

~0,15

nisip (la eforturi uzuale)

0,01–0,03

0,003–0,01

—

Remarcă ordinul de mărime: \(\lambda\) între 0,05 și 0,3; \(\kappa\) de 3–10 ori mai mic.

2.4.4. Legătura cu deformațiile#

Pe NCL, o creștere a lui \(p'\) de la \(p'_a\) la \(p'_b\) produce

\[ \Delta v = -\lambda \ln\frac{p'_b}{p'_a}, \qquad \varepsilon_v = -\frac{\Delta v}{v} = \frac{\lambda}{v}\ln\frac{p'_b}{p'_a}. \]

Partea elastică (recuperabilă) a acestei deformații este cea pe care am obține-o pe URL:

\[ \varepsilon_v^{e} = \frac{\kappa}{v}\ln\frac{p'_b}{p'_a}, \]

iar partea plastică este diferența:

\[ \boxed{\,\varepsilon_v^{p} = \frac{\lambda-\kappa}{v}\ln\frac{p'_b}{p'_a}\,} \]

Combinația \(\lambda - \kappa\) va apărea peste tot în Cam-Clay: ea măsoară „câtă deformație permanentă produce o creștere a efortului”. Dacă \(\kappa \to \lambda\), pământul ar fi perfect elastic; dacă \(\kappa \to 0\), toată deformația ar fi plastică.

Un modul elastic variabil

Din URL rezultă modulul de deformație volumică (bulk modulus) elastic:

\[ K' = \frac{\mathrm{d}p'}{\mathrm{d}\varepsilon_v^e} = \frac{v\,p'}{\kappa}. \]

El crește liniar cu \(p'\) — o consecință directă a dreptei în \(\ln p'\). Cu \(v = 2\) [–], \(\kappa = 0{,}03\) [–], \(p' = 100\) kPa: \(K' \approx 6{,}7\) MPa. Aceasta este rigiditatea pe care o folosește Cam-Clay în interiorul suprafeței de curgere.

Rezumat

  • \(\lambda = C_c/2{,}303\), \(\kappa = C_s/2{,}303\); aceleași drepte, alte unități.

  • NCL: \(v = N - \lambda\ln p'\). URL: \(v = v_\kappa - \kappa\ln p'\).

  • Deformația plastică de volum este proporțională cu \((\lambda-\kappa)\).

  • Avem deja trei din cei cinci parametri ai Cam-Clay: \(\lambda\), \(\kappa\), \(N\). Ceilalți doi (\(M\) și \(\Gamma\)) vin din forfecare — capitolul următor.

Cuprins