5.6. Exerciții

Toate exercițiile folosesc Weald Clay (\(\lambda = 0{,}093\), \(\kappa = 0{,}035\), \(N = 2{,}100\), \(\Gamma = 2{,}060\), \(M = 0{,}95\), toți [–]) și, unde este nevoie, \(h = 0{,}6\) [–], deci \(g = 0{,}228\) [–].

Exercițiu 5.1

Trei stări sunt propuse pentru probe de Weald Clay:

Starea	\(v\) [–]	\(p'\) [kPa]	\(q\) [kPa]
A	1,62	150	60
B	1,58	60	110
C	1,60	180	150

Pentru fiecare: calculați \(p'_e\) [kPa], coordonatele normalizate [–] și raportul \(\eta = q/p'\) [–]. Este starea în interiorul suprafeței de stare limită, pe ea sau în afara ei?

Soluția pentru Exercițiu 5.1

Comparăm, pe raza \(\eta = q/p'\) a fiecărei stări, valoarea \(p'/p'_e\) a stării cu cea a suprafeței.

A. \(p'_e = \exp[(2{,}100 - 1{,}62)/0{,}093] = 174\) kPa; \(p'/p'_e = 0{,}86\) [–]; \(q/p'_e = 0{,}34\) [–]; \(\eta = 0{,}40\) [–] \(< M\), deci comparăm cu suprafața Roscoe: \((0{,}9025/1{,}0625)^{0{,}624} = 0{,}90\) [–]. Starea are \(0{,}86 < 0{,}90\): este în interior, aproape de suprafață (probă ușor supraconsolidată).

B. \(p'_e = \exp[(2{,}100 - 1{,}58)/0{,}093] = 268\) kPa; \(p'/p'_e = 0{,}22\) [–]; \(q/p'_e = 0{,}41\) [–]; \(\eta = 1{,}83\) [–], între \(M\) și 3, deci comparăm cu suprafața Hvorslev: la \(p'/p'_e = 0{,}22\), \(q/p'_e = 0{,}228 + 0{,}6 \cdot 0{,}22 = 0{,}36\) [–]. Starea are \(0{,}41 > 0{,}36\): este în afară, deci imposibilă.

C. \(p'_e = 216\) kPa; \(p'/p'_e = 0{,}83\) [–]; \(q/p'_e = 0{,}69\) [–]; \(\eta = 0{,}83\) [–] \(< M\). Suprafața Roscoe la această rază: \((0{,}9025/1{,}597)^{0{,}624} = 0{,}70\) [–]. Starea are \(0{,}83 > 0{,}70\): în afară, imposibilă. La acest volum specific argila nu poate duce simultan 180 kPa efort mediu și 150 kPa efort deviator.

Exercițiu 5.2

London Clay are \(\lambda = 0{,}161\), \(\kappa = 0{,}062\), \(\Gamma = 2{,}759\), \(M = 0{,}888\) și, cu relația din Cei cinci parametri — tabel recapitulativ, \(N = 2{,}828\) (toți [–]). a) Calculați raportul \(p'_{cs}/p'_e\) [–] și poziția punctului de stare critică în planul normalizat. b) Ce raport \(c_u/p'_0\) [–] rezultă pentru probe normal consolidate forfecate nedrenat? c) O probă NC are \(c_u = 58\) kPa. La ce presiune a fost consolidată?

Soluția pentru Exercițiu 5.2

a) \(p'_{cs}/p'_e = \exp[(2{,}759 - 2{,}828)/0{,}161] = \exp(-0{,}429) = 0{,}65\) [–]; \(q_{cs}/p'_e = 0{,}888 \cdot 0{,}65 = 0{,}58\) [–]. Punctul este \((0{,}65;\ 0{,}58)\).

b) La o probă NC nedrenată \(p'_e = p'_0\), deci \(c_u/p'_0 = \tfrac12 \cdot 0{,}58 = 0{,}29\) [–].

c) \(p'_0 = 58/0{,}29 = 200\) kPa.

Observă că \(p'_{cs}/p'_e\) este practic același ca la Weald Clay (0,65), deși cele două argile au compresibilități foarte diferite. Diferența dintre rapoartele \(c_u/p'_0\) (0,31 față de 0,29) vine aproape numai din \(M\).

Exercițiu 5.3

Proba din Partea „uscată”: suprafața Hvorslev și limita de întindere: Weald Clay consolidată izotrop la \(p'_0 = 800\) kPa, descărcată la \(p' = 50\) kPa (\(v = 1{,}575\) [–]), apoi forfecată drenat cu \(\sigma_r\) constant. a) Găsiți punctul în care drumul 3:1 atinge suprafața Hvorslev (vârful). Țineți seama că, până la vârf, \(v\) scade elastic pe URL. b) Calculați unghiul de frecare de vârf \(\varphi'_{peak}\) [°] și comparați-l cu \(\varphi'_{cs}\) [°]. c) Cu cât se schimbă \(v\) între vârf și starea critică? Ce înseamnă asta pentru umiditate (\(\gamma_s = 27{,}5\) kN/m³, \(\gamma_w = 10\) kN/m³)?

Soluția pentru Exercițiu 5.3

a) Trei condiții trebuie îndeplinite simultan:

• drumul drenat: \(q = 3\,(p' - 50)\) [kPa];

• suprafața Hvorslev: \(q = g\,p'_e + h\,p' = 0{,}228\,p'_e + 0{,}6\,p'\) [kPa];

• URL: \(v = 1{,}575 - 0{,}035 \ln(p'/50)\) [–], cu \(p'_e = \exp[(2{,}100 - v)/0{,}093]\) [kPa].

Din primele două: \(p' = (150 + 0{,}228\,p'_e)/2{,}4\). Cum \(p'_e\) depinde de \(p'\) prin \(v\), rezolvăm prin iterații:

Iterația	\(v\) [–]	\(p'_e\) [kPa]	\(p'\) [kPa]
0	1,575	282	89,2
1	1,555	350	95,8
2	1,553	360	96,6
3	1,552	361	96,8

Vârful: \(p' \approx 97\) kPa, \(q = 3\,(97 - 50) \approx 140\) kPa. (Dacă am fi neglijat scăderea elastică a lui \(v\), am fi obținut \(q = 118\) kPa, cu 16 % mai puțin: partea elastică, deși mică, contează.)

b) \(\eta_{peak} = 140/97 = 1{,}45\) [–]. Din \(\sin\varphi' = 3\eta/(6 + \eta)\): \(\sin\varphi'_{peak} = 4{,}35/7{,}45 = 0{,}584\), deci \(\varphi'_{peak} = 35{,}7°\). La stare critică \(\varphi'_{cs} = 24{,}2°\). Diferența de peste 11° este în întregime efectul îndesării.

c) La stare critică \(p'_{cs} = 73\) kPa și \(v_{cs} = 2{,}060 - 0{,}093 \ln 73 = 1{,}661\) [–]. Între vârf și starea critică \(\Delta v = 1{,}661 - 1{,}552 = +0{,}109\) [–]: proba se dilată cu \(0{,}109/1{,}552 = 7\,\%\). Umiditatea, \(w = (v - 1)\,\gamma_w/\gamma_s\), crește de la \(0{,}552 \cdot 10/27{,}5 = 20{,}1\,\%\) la \(0{,}661 \cdot 10/27{,}5 = 24{,}0\,\%\). Proba trebuie să absoarbă apă ca să ajungă la stare critică; într-o argilă puțin permeabilă asta durează, și de aceea pierderea de rezistență a argilelor rigide este întârziată.

Exercițiu 5.4

O probă de Weald Clay are \(p'_0 = 200\) kPa. a) Calculați trei puncte ale curbei ei de curgere: capătul de pe axa \(p'\), vârful de pe CSL și punctul de pe suprafața Hvorslev la \(p' = 50\) kPa. b) Proba este descărcată izotrop la \(p' = 150\) kPa și apoi forfecată nedrenat. Pe ce parte a curbei de curgere va ajunge? Dar dacă este descărcată la 50 kPa? c) Fără calcule: în care dintre cele două cazuri de la b) presiunea apei din pori va fi negativă la cedare?

Soluția pentru Exercițiu 5.4

a)

• Pe axă: \(p' = p'_0 = 200\) kPa, \(q = 0\) kPa.

• Pe CSL: \(p' = 0{,}50 \cdot 200 = 100\) kPa, \(q = 0{,}95 \cdot 100 = 95\) kPa.

• La \(p' = 50\) kPa: pe URL, \(v = (2{,}100 - 0{,}093 \ln 200) + 0{,}035 \ln(200/50) = 1{,}607 + 0{,}049 = 1{,}656\) [–]. Termenul care depinde de \(v\): \((0{,}95 - 0{,}6)\exp[(2{,}060 - 1{,}656)/0{,}093] = 0{,}35 \cdot 77{,}2 = 27\) kPa. Deci \(q = 27 + 0{,}6 \cdot 50 = 57\) kPa.

b) Nedrenat și elastic înseamnă \(p'\) constant: drumul urcă vertical.

• De la 150 kPa (\(R_p = 1{,}33 < 2\)): la dreapta vârfului, atinge curba pe partea Roscoe („ud”).

• De la 50 kPa (\(R_p = 4 > 2\)): la stânga vârfului, atinge curba pe partea Hvorslev („uscat”), la \(q = 57\) kPa.

c) În al doilea. Proba „uscată” vrea să se dilate; nedrenat nu poate, așa că presiunea apei scade și \(p'\) crește spre CSL (\(\Delta u < 0\)). Proba „udă” vrea să se contracte, deci \(\Delta u > 0\).

Exercițiu 5.5

Un coleg a determinat pe o argilă rigidă, din trei încercări triaxiale drenate, \(c' = 30\) kPa și \(\varphi' = 22°\) și vrea să folosească aceste valori pentru stabilitatea pe termen lung a unui taluz săpat în aceeași argilă. Folosind ce ați învățat despre suprafața Hvorslev, ce îi atrageți atenția?

Soluția pentru Exercițiu 5.5

Dreapta lui trece prin vârfurile unor probe supraconsolidate, deci descrie suprafața Hvorslev la umiditatea pe care au avut-o probele la cedare. „Coeziunea” de 30 kPa nu este o constantă: este termenul \((M - h)\exp[(\Gamma - v)/\lambda]\) [kPa], care scade repede când \(v\) crește.

După săpătură, efortul mediu în taluz scade, argila absoarbe apă și se umflă în timp, iar în zonele de forfecare se dilată spre stare critică. Volumul specific crește, deci „coeziunea” scade — la limită, spre zero, rămânând rezistența de stare critică, cu \(\varphi'_{cs}\) și \(c' = 0\) kPa. Pe termen lung, verificarea prudentă se face cu parametrii de stare critică, nu cu cei de vârf; valorile de vârf pot fi justificate numai dacă se poate arăta că umiditatea și deformațiile rămân mici pe toată durata de viață a lucrării.