Efortul mediu p' și efortul deviator q

4.1. Efortul mediu \(p'\) și efortul deviator \(q\)#

Intuiție

Orice stare de eforturi poate fi despărțită în două: o parte care strânge uniform din toate părțile (și schimbă doar volumul) și o parte care deformează forma (și produce forfecare). Prima este \(p'\), a doua este \(q\). Consolidarea izotropă este numai \(p'\); edometrul este mai ales \(p'\), cu puțin \(q\); cutia de forfecare schimbă mai ales \(q\); triaxialul le controlează pe amândouă.

4.1.1. Definiții (triaxial)#

Pentru starea de eforturi din triaxial (\(\sigma'_a\) axial, \(\sigma'_r\) radial):

\[ \boxed{\,p' = \frac{\sigma'_a + 2\sigma'_r}{3}\,} \qquad \boxed{\,q = \sigma'_a - \sigma'_r = \sigma_a - \sigma_r\,} \]

  • \(p'\) este efortul mediu efectiv (media celor trei eforturi principale efective). Unitate: kPa. Este „presiunea” pe care o simte scheletul.

  • \(q\) este efortul deviator. Unitate: kPa. Este „cât de inegale” sunt eforturile; dacă \(q = 0\), starea este izotropă și nu există forfecare. În compresiune triaxială \(q \ge 0\); în extensiune (\(\sigma'_a < \sigma'_r\)) \(q < 0\).

Invers:

\[ \sigma'_a = p' + \tfrac{2}{3}q, \qquad \sigma'_r = p' - \tfrac{1}{3}q . \]

4.1.2. Cazuri particulare#

Stare

\(p'\) [kPa]

\(q\) [kPa]

consolidare izotropă, \(\sigma'_a = \sigma'_r = \sigma'_0\)

\(\sigma'_0\)

0

edometru / in situ, \(\sigma'_h = K_0\sigma'_v\)

\(\sigma'_v\,(1+2K_0)/3\)

\(\sigma'_v\,(1-K_0)\)

cedare Mohr–Coulomb (\(c'=0\))

—

\(q/p' = M\) (pagina Linia stării critice: M și \Gamma)

Exemplul din Exercițiu 1.3: \(\sigma'_v = 80{,}5\) kPa, \(\sigma'_h = 48{,}3\) kPa ⇒ \(p' = (80{,}5 + 2\cdot48{,}3)/3 = 59{,}0\) kPa, \(q = 32{,}2\) kPa. Pământul in situ nu este niciodată la \(q = 0\): este deja parțial forfecat de propria greutate.

4.1.3. Totale și efective#

\[ p = \frac{\sigma_a + 2\sigma_r}{3} = p' + u, \qquad q = q' \]

Presiunea apei mută starea pe orizontală (schimbă \(p'\)) și nu afectează \(q\). Asta este, în coordonate \(p'\)–\(q\), principiul lui Terzaghi din Efortul efectiv.

4.1.4. Legătura cu cercul lui Mohr#

Dacă ai învățat forfecarea cu cercul lui Mohr: centrul cercului este \(s' = (\sigma'_a+\sigma'_r)/2\), raza este \(t = (\sigma'_a-\sigma'_r)/2 = q/2\). Deci \(q = 2t\) și \(p' = s' - t/3\). Perechea \((s', t)\) (notația MIT) și perechea \((p', q)\) (notația Cambridge) spun același lucru; Cambridge o preferă pe a doua pentru că \(p'\) este media tuturor celor trei eforturi, deci se generalizează corect în 3D.

Pentru cei curioși: forma generală

Pentru o stare oarecare de eforturi (nu neapărat axial-simetrică):

\[ p' = \frac{\sigma'_1+\sigma'_2+\sigma'_3}{3}, \qquad q = \sqrt{\tfrac{1}{2}\left[(\sigma'_1-\sigma'_2)^2+(\sigma'_2-\sigma'_3)^2+(\sigma'_3-\sigma'_1)^2\right]}. \]

\(p'\) este \(1/3\) din primul invariant al tensorului de eforturi; \(q\) este \(\sqrt{3J_2}\), cu \(J_2\) al doilea invariant al deviatorului. Pentru triaxial (\(\sigma'_2 = \sigma'_3\)) formula de \(q\) se reduce la \(\sigma'_1-\sigma'_3\). Aceasta este forma pe care o folosesc programele de element finit (PLAXIS, MIDAS GTS NX) când implementează Cam-Clay.

4.1.5. Deformațiile conjugate#

Fiecărui efort îi corespunde o deformație astfel încât produsul lor să fie lucrul mecanic pe unitate de volum, \(\delta W = p'\,\delta\varepsilon_v + q\,\delta\varepsilon_s\):

\[ \varepsilon_v = \varepsilon_a + 2\varepsilon_r \quad(\text{volumică}), \qquad \varepsilon_s = \tfrac{2}{3}(\varepsilon_a - \varepsilon_r) \quad(\text{deviatorică, de forfecare}). \]

Nu le vom folosi mult înainte de cap. 6, dar observă simetria: \(p'\) lucrează cu \(\varepsilon_v\) (volum), \(q\) cu \(\varepsilon_s\) (formă). În nedrenat \(\varepsilon_v = 0\) ⇒ \(\varepsilon_s = \varepsilon_a\).

Rezumat

  • \(p' = (\sigma'_a + 2\sigma'_r)/3\) — strânge; \(q = \sigma'_a - \sigma'_r\) — forfecă.

  • \(u\) schimbă \(p'\), nu \(q\).

  • In situ: \(p' = \sigma'_v(1+2K_0)/3\), \(q = \sigma'_v(1-K_0)\).

Cuprins