Presiunea echivalentă și suprafața Roscoe

5.2. Presiunea echivalentă și suprafața Roscoe#

Intuiție

Ca să compari doi oameni de înălțimi diferite, nu le compari lungimea brațelor în centimetri, ci raportul dintre braț și înălțime. La pământ, „înălțimea” la care raportăm eforturile este cea mai mare presiune pe care proba ar putea-o duce la volumul pe care îl are acum. Fiecărui volum specific îi corespunde o astfel de presiune; ea se citește de pe NCL.

5.2.1. Presiunea echivalentă \(p'_e\)#

Fie o probă cu volumul specific \(v\) [–], la o stare oarecare de eforturi. Ducem prin starea ei o orizontală în planul \(v\)–\(\ln p'\) până la NCL. Presiunea citită acolo este presiunea echivalentă:

\[ \boxed{\,p'_e = \exp\!\left(\frac{N - v}{\lambda}\right)\ [\text{kPa}]\,} \]

Formula este ecuația NCL, \(v = N - \lambda \ln p'\), rezolvată pentru \(p'\). Rezultatul iese în kPa pentru că \(N\) este definit la \(p' = 1\) kPa.

Trei lucruri de reținut despre \(p'_e\):

  • depinde numai de \(v\) (și de constantele \(N\), \(\lambda\) ale pământului). Nu depinde de \(p'\), de \(q\) sau de istorie;

  • într-o încercare nedrenată \(v\) este constant, deci \(p'_e\) este constant pe toată durata forfecării;

  • într-o încercare drenată \(v\) se schimbă, deci \(p'_e\) se schimbă: crește când proba se contractă, scade când se dilată.

\(v\) [–]

1,70

1,65

1,60

1,55

1,50

\(p'_e\) [kPa] (Weald Clay)

74

126

216

370

634

O scădere de numai 0,05 a volumului specific aproape dublează presiunea echivalentă. De aceea micile diferențe de umiditate între probe contează atât de mult.

\(p'_e\) nu este \(p'_0\)

\(p'_0\) [kPa] este presiunea de preconsolidare: cea mai mare presiune pe care proba a dus-o (memoria ei, vezi Normal consolidat, supraconsolidat și memoria pământului). \(p'_e\) [kPa] este presiunea de pe NCL la volumul actual. La o probă normal consolidată aflată pe axa \(p'\) cele două coincid. La o probă supraconsolidată, \(p'_e < p'_0\), pentru că la descărcare proba s-a umflat puțin, iar \(v\) a crescut. Exemplu: Weald Clay consolidată la \(p'_0 = 800\) kPa și descărcată la 50 kPa are \(v = 1{,}575\) [–] și \(p'_e = 282\) kPa.

5.2.2. Planul normalizat#

Împărțim acum ambele eforturi la \(p'_e\) și desenăm fiecare stare în planul cu axele

\[ \frac{p'}{p'_e}\ [\text{–}] \qquad \text{și} \qquad \frac{q}{p'_e}\ [\text{–}] . \]

În acest plan:

  • orice stare de pe NCL (\(q = 0\), \(p' = p'_e\)) cade în punctul \((1;\ 0)\);

  • orice stare de pe CSL cade într-un singur punct. La același \(v\), \(p'_{cs} = \exp[(\Gamma - v)/\lambda]\), deci

\[ \frac{p'_{cs}}{p'_e} = \exp\!\left(\frac{\Gamma - N}{\lambda}\right) = 0{,}65\ [\text{–}], \qquad \frac{q_{cs}}{p'_e} = M \cdot 0{,}65 = 0{,}62\ [\text{–}] . \]

Două linii din spațiul \((p', q, v)\) au devenit două puncte. Normalizarea a „strivit” axa \(v\): toate secțiunile la \(v\) constant s-au suprapus.

5.2.3. Rezultatul experimental#

Punem în planul normalizat drumurile din Drumuri care seamănă între ele. Cele trei drumuri nedrenate NC cad pe o singură curbă, de la \((1;\ 0)\) la \((0{,}65;\ 0{,}62)\). Asta era de așteptat.

Surpriza este alta. Luăm o probă NC și o forfecăm drenat. Drumul ei în \(q\)–\(p'\) este cu totul altul (dreapta 3:1 din Drumuri de eforturi), iar volumul scade continuu. Calculăm, în fiecare moment al încercării, \(p'_e\) din volumul de atunci și normalizăm. Punctele cad pe aceeași curbă.

Exemplu numeric

Probă NC de Weald Clay, \(p'_0 = 300\) kPa, deci \(v_0 = 2{,}100 - 0{,}093 \ln 300 = 1{,}570\) [–].

Nedrenat. \(v = 1{,}570\) [–] constant, deci \(p'_e = 300\) kPa tot timpul. La stare critică \(p'_{cs} = \exp[(2{,}060 - 1{,}570)/0{,}093] = 195\) kPa și \(q_{cs} = 0{,}95 \cdot 195 = 185\) kPa. Normalizat: \((195/300;\ 185/300) = (0{,}65;\ 0{,}62)\) [–].

Drenat. Drumul 3:1 întâlnește CSL la \(p'_{cs} = 3 \cdot 300/(3 - 0{,}95) = 439\) kPa, \(q_{cs} = 417\) kPa. Volumul a scăzut la \(v_{cs} = 2{,}060 - 0{,}093 \ln 439 = 1{,}494\) [–], deci \(p'_e = \exp[(2{,}100 - 1{,}494)/0{,}093] = 675\) kPa. Normalizat: \((439/675;\ 417/675) = (0{,}65;\ 0{,}62)\) [–].

Două încercări care, în kPa, se termină în locuri complet diferite (195 kPa față de 439 kPa) se termină în același punct al planului normalizat.

Faptul că se potrivesc punctele finale decurge din definiții. Faptul că se potrivește tot drumul este un rezultat de laborator, verificat pe multe argile, începând cu Rendulic (1936) și continuând cu Henkel (1960) și cu Roscoe, Schofield și Wroth (1958). Curba comună se numește suprafața Roscoe.

../_images/sectiuni_v_const.svg

Figura 5.2 Trei secțiuni la volum specific constant prin suprafața de stare limită (Weald Clay). Fiecare secțiune este aceeași figură, mărită proporțional cu \(p'_e\) [kPa]. Portocaliu: suprafața Roscoe, de la NCL (punctele de pe axă) la CSL. Roșu și gri: partea „uscată”, discutată în Partea „uscată”: suprafața Hvorslev și limita de întindere.#

5.2.4. Ce înseamnă „suprafață”#

De ce îi spunem suprafață, dacă în planul normalizat este o curbă? Pentru că planul normalizat este o imagine comprimată a spațiului cu trei axe. Fiecărui \(v\) îi corespunde o copie a curbei, mărită cu factorul \(p'_e(v)\) (Figura 5.2). Puse una lângă alta de-a lungul axei \(v\), copiile formează o suprafață curbă care se sprijină jos pe NCL și sus pe CSL. O vom vedea întreagă în Suprafața completă și peretele elastic.

Suprafața Roscoe are două proprietăți care o fac importantă:

  1. Este o graniță. Nicio probă din acest pământ nu a fost adusă vreodată într-o stare aflată dincolo de ea (la dreapta și deasupra curbei, în planul normalizat). O probă cu \(v = 1{,}60\) [–] nu poate duce, de exemplu, \(p' = 180\) kPa și \(q = 150\) kPa în același timp.

  2. Probele normal consolidate merg pe ea. O probă NC pornește din punctul \((1;\ 0)\), care este deja pe suprafață, și rămâne pe suprafață până la stare critică, orice drum de eforturi i-am impune. Diferitele încercări (drenat, nedrenat, \(p'\) constant) sunt doar trasee diferite pe aceeași suprafață.

Ce formă are curba, exact?

Deocamdată curba este un rezultat de laborator: o desenăm prin puncte măsurate. Capitolul 6 va deduce pentru ea o ecuație din câteva ipoteze simple. Ca să poți face calcule de pe acum, iată rezultatul modelului Cam-Clay modificat, pe care l-am folosit și la desenarea figurilor:

\[ \frac{p'}{p'_e} = \left(\frac{M^2}{M^2 + \eta^2}\right)^{(\lambda-\kappa)/\lambda}, \qquad \eta = \frac{q}{p'}\ [\text{–}], \quad 0 \le \eta \le M . \]

Pentru Weald Clay exponentul este \((0{,}093 - 0{,}035)/0{,}093 = 0{,}624\) [–]. La \(\eta = 0\) rezultă \(p'/p'_e = 1\) (NCL); la \(\eta = M\) rezultă \(2^{-0{,}624} = 0{,}65\) (CSL).

Rezumat

  • Presiunea echivalentă \(p'_e = \exp[(N - v)/\lambda]\) [kPa] este presiunea de pe NCL la volumul specific actual. Depinde numai de \(v\).

  • În planul normalizat \((p'/p'_e;\ q/p'_e)\) [–], NCL devine punctul \((1;\ 0)\), iar CSL punctul \((\exp[(\Gamma-N)/\lambda];\ M\exp[(\Gamma-N)/\lambda])\) = \((0{,}65;\ 0{,}62)\) pentru Weald Clay.

  • Drumurile drenate și nedrenate ale probelor NC cad pe aceeași curbă: suprafața Roscoe. Ea leagă NCL de CSL și este o graniță a stărilor posibile.

Cuprins