6.3. De la regula de curgere la curba de curgere

Intuiție

Pune o bilă pe un deal și dă-i drumul: pornește pe direcția cea mai abruptă, perpendicular pe curbele de nivel. Dacă cineva îți spune, în fiecare punct, în ce direcție pleacă bila, poți desena curbele de nivel fără să fi văzut dealul. Aici facem același lucru: știm în ce direcție „pleacă” deformația plastică la fiecare raport de eforturi și desenăm curba pe care ea este perpendiculară.

6.3.1. Ipoteza normalității

Desenăm în aceeași figură două lucruri: curba de curgere, în axele \((p', q)\), și mica deformație plastică, ca un vector cu componentele \((\delta\varepsilon_v^p,\ \delta\varepsilon_s^p)\), așezat în punctul de pe curbă în care se află starea. Componenta de volum merge pe direcția lui \(p'\), cea de forfecare pe direcția lui \(q\) (sunt perechile din expresia lucrului mecanic).

Cam-Clay presupune că vectorul deformației plastice este perpendicular pe curba de curgere. Ipoteza se numește normalitate sau regulă de curgere asociată și vine din teoria plasticității metalelor. Pentru argile remaniate este o aproximație bună; pentru nisipuri, mai puțin.

Figura 6.2 Vectorii deformației plastice, perpendiculari pe curba de curgere (aici elipsa modelului Cam-Clay modificat, \(p'_0 = 300\) kPa). În dreapta vârfului vectorii sunt înclinați spre dreapta: componenta de volum este pozitivă, proba se contractă. În vârf, pe linia stării critice (CSL), vectorul este vertical: numai forfecare, volum constant. În stânga vârfului vectorii sunt înclinați spre stânga: proba se dilată.

Perpendicularitatea se scrie simplu. Dacă de-a lungul curbei de curgere ne mișcăm cu \((\mathrm{d}p', \mathrm{d}q)\), produsul scalar cu vectorul deformației este zero:

\[ \mathrm{d}p'\,\delta\varepsilon_v^p + \mathrm{d}q\,\delta\varepsilon_s^p = 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}p'} = -\,\frac{\delta\varepsilon_v^p}{\delta\varepsilon_s^p}\,} \]

Panta curbei de curgere este regula de curgere, cu semn schimbat. Regula de curgere o știm de pe pagina anterioară, deci știm panta curbei în fiecare punct. Mai rămâne să o „adunăm”.

6.3.2. Curba de curgere a modelului Cam-Clay original

Cu regula \(\delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p = M - \eta\):

\[ \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}p'} = -(M - \eta) = \eta - M . \]

Scriem \(q = \eta\,p'\), deci \(\mathrm{d}q/\mathrm{d}p' = \eta + p'\,\mathrm{d}\eta/\mathrm{d}p'\). Înlocuind, \(\eta\) se reduce:

\[ p'\,\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}p'} = -M \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}\eta = -M\,\frac{\mathrm{d}p'}{p'} \quad\Longrightarrow\quad \eta = -M\ln p' + \text{const.} \]

Constanta o fixăm cerând ca pe axa \(p'\) (unde \(\eta = 0\)) curba să treacă prin presiunea de preconsolidare \(p'_0\):

\[ \boxed{\,\frac{q}{M\,p'} = \ln\frac{p'_0}{p'}\,} \qquad\text{sau}\qquad q = M\,p'\,\ln\frac{p'_0}{p'}\quad[\text{kPa}] . \]

Este o curbă în formă de glonț, cu vârful ascuțit la \(p'_0\) (Figura 6.3, albastru).

Unde taie linia stării critice? Punem \(q = Mp'\):

\[ \ln\frac{p'_0}{p'} = 1 \quad\Longrightarrow\quad p'_{cs} = \frac{p'_0}{e} = \frac{p'_0}{2{,}72} . \]

(Aici \(e = 2{,}718\) este baza logaritmului natural, nu indicele porilor.) Acolo regula de curgere dă \(M - \eta = 0\), deci tangenta la curbă este orizontală: linia stării critice trece exact prin vârful curbei de curgere. Nu am impus asta; a ieșit din calcul.

Figura 6.3 Curbele de curgere ale celor două modele pentru aceeași presiune de preconsolidare, \(p'_0 = 300\) kPa (Weald Clay, \(M = 0{,}95\)). Ambele pornesc din origine, au vârful pe linia stării critice și se închid la \(p'_0\). Cam-Clay original (albastru) are vârful la \(p'_0/2{,}72 = 110\) kPa și un colț la \(p'_0\); Cam-Clay modificat (portocaliu) este o elipsă cu vârful la \(p'_0/2 = 150\) kPa.

6.3.3. Colțul

La \(p'_0\) curba originală ajunge pe axă cu panta \(-M\), nu vertical. Curba este simetrică față de axa \(p'\) (în extensiune, \(q < 0\)), deci la \(p'_0\) are un colț. Într-un colț perpendiculara nu este definită: modelul nu știe în ce direcție să curgă o probă comprimată izotrop. Este același defect pe care l-am văzut la regula de curgere, privit din altă parte, și este motivul pentru care a apărut varianta modificată.

Rezumat

• Normalitate: vectorul \((\delta\varepsilon_v^p, \delta\varepsilon_s^p)\) este perpendicular pe curba de curgere, deci \(\mathrm{d}q/\mathrm{d}p' = -\delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p\).

• Cam-Clay original: \(q = M\,p'\ln(p'_0/p')\).

• Linia stării critice trece prin vârful curbei, la \(p' = p'_0/2{,}72\).

• La \(p'_0\) curba are un colț: slăbiciunea modelului original.