Linia stării critice: M și \Gamma

4.4. Linia stării critice: \(M\) și \(\Gamma\)#

Intuiție

În capitolul 3 am văzut că, la deformații mari, toate probele ajung într-o stare în care \(\tau\) și \(e\) nu se mai schimbă — și că acea stare depinde doar de efortul normal. În limbajul nou: pentru fiecare \(p'\) există un singur \(q_{cs}\) și un singur \(v_{cs}\). Mulțimea acestor puncte \((p', q_{cs}, v_{cs})\) este o curbă în spațiu: linia stării critice, CSL. Are o proiecție în fiecare plan, și fiecare proiecție are un parametru.

4.4.1. În planul eforturilor: \(M\)#

Experimental, punctele de stare critică se aliniază pe o dreaptă prin origine:

\[ \boxed{\,q_{cs} = M\,p'_{cs}\,} \]

\(M\) (adimensional) este panta liniei stării critice în planul \(q\)–\(p'\). Este echivalentul lui \(\tan\varphi'_{cs}\) din cutia de forfecare, tradus în coordonate Cambridge. Pentru compresiune triaxială:

\[ \boxed{\,M = \frac{6\sin\varphi'_{cs}}{3 - \sin\varphi'_{cs}}\,}, \qquad \sin\varphi'_{cs} = \frac{3M}{6+M}. \]

\(\varphi'_{cs}\)

20°

25°

30°

33°

36°

\(M\) [–] (compresiune)

0,77

0,98

1,20

1,33

1,46

Ordinul de mărime de ținut minte: \(M \approx 1\) la argile, \(M \approx 1{,}2\)–\(1{,}5\) la nisipuri.

De ce trece prin origine

Pentru că la stare critică \(c' = 0\). Orice „coeziune” măsurată pe înfășurătoarea de vârf provine din dilatanță sau din structură (cimentare, îmbătrânire) — lucruri pe care forfecarea mare le distruge. La stare critică rămâne doar frecarea: o dreaptă prin origine.

Extensiune

În extensiune triaxială (\(\sigma'_a < \sigma'_r\)), același \(\varphi'_{cs}\) dă o pantă diferită, \(M_e = 6\sin\varphi'_{cs}/(3+\sin\varphi'_{cs})\), mai mică (pentru 30°: \(M_e = 0{,}86\) față de \(M_c = 1{,}20\)). Linia stării critice nu este simetrică față de axa \(p'\) — o consecință a faptului că criteriul Mohr–Coulomb nu depinde de \(\sigma'_2\), iar \(q\) da. În carte vom lucra aproape numai în compresiune și vom scrie \(M\) pentru \(M_c\).

4.4.2. În planul de compresiune: \(\Gamma\)#

Tot experimental, punctele de stare critică se aliniază, în \(v\)–\(\ln p'\), pe o dreaptă paralelă cu NCL:

\[ \boxed{\,v_{cs} = \Gamma - \lambda \ln p'_{cs}\,} \]

  • panta este același \(\lambda\) ca al liniei de compresiune normală — un fapt experimental remarcabil și o ipoteză de bază a modelului;

  • \(\Gamma\) (gamma mare) este valoarea lui \(v\) pe CSL la \(p' = 1\) kPa; fixează poziția dreptei. Pentru că CSL este sub NCL (un pământ forfecat până la stare critică este mai îndesat decât unul doar comprimat la același \(p'\)), avem \(\Gamma < N\).

Diferența \(N - \Gamma\) este mică și, în Cam-Clay, nu este un parametru liber: modelul o prezice din \(\lambda\) și \(\kappa\) (\(N - \Gamma = \lambda - \kappa\) în Cam-Clay original, \((\lambda-\kappa)\ln 2\) în Cam-Clay modificat — cap. 6). Deocamdată tratează \(\Gamma\) ca pe o constantă măsurată.

../_images/csl.svg

Figura 4.3 Linia stării critice în cele două proiecții. Stânga: \(q = Mp'\) în planul eforturilor, cu drumuri drenate (3:1) pornind de la \(p'_0\) = 100, 200, 300 kPa și oprindu-se pe CSL. Dreapta: \(v = \Gamma - \lambda\ln p'\) în planul de compresiune, paralelă cu NCL (\(v = N - \lambda\ln p'\)) și sub ea; aceleași drumuri coboară de pe NCL pe CSL.#

4.4.3. Cum se măsoară#

Dintr-o serie de încercări triaxiale (CD sau CU, NC sau OC — nu contează, exact asta e ideea) duse la deformații mari, luăm starea finală \((p'_f, q_f, v_f)\) a fiecăreia:

  • regresie \(q_f\) vs. \(p'_f\) prin origine ⇒ \(M\);

  • regresie \(v_f\) vs. \(\ln p'_f\) ⇒ \(\Gamma\) (și o verificare a lui \(\lambda\)).

În practică, deformațiile din triaxial (15–20 % axial) nu ajung mereu la stare critică la argile OC (se formează plane de forfecare); valorile se extrapolează. La nisipuri, aparatele moderne (triaxial cu lubrifiere, forfecare simplă) ajung mai aproape.

4.4.4. Valori pentru argile clasice (Schofield & Wroth, 1968)#

Argilă

\(M\) [–]

\(\Gamma\) [–]

\(\lambda\) [–]

\(\kappa\) [–]

Weald Clay

0,95

2,060

0,093

0,035

London Clay

0,888

2,759

0,161

0,062

Cu \(M = 0{,}95\) ⇒ \(\varphi'_{cs} = 24{,}2°\); cu \(M = 0{,}888\) ⇒ \(22{,}7°\). Valori perfect normale pentru argile plastice.

Rezumat

  • CSL în \(q\)–\(p'\): \(q = Mp'\), prin origine; \(M \leftrightarrow \varphi'_{cs}\).

  • CSL în \(v\)–\(\ln p'\): \(v = \Gamma - \lambda\ln p'\), paralelă cu NCL și sub ea.

  • Cinci parametri: avem acum \(M\), \(\Gamma\), \(\lambda\), \(\kappa\), \(N\) — toți.

Cuprins