Patru ingrediente

6.1. Patru ingrediente#

Intuiție

Îndoaie puțin o agrafă de birou și dă-i drumul: revine. Îndoaie-o mai tare: rămâne îndoită, iar ca s-o îndoi și mai mult trebuie să apeși mai tare decât prima dată. În aceste trei propoziții sunt toate ideile plasticității: o zonă elastică, o limită de la care deformația rămâne, o direcție în care materialul cedează și o întărire care mută limita mai departe.

6.1.1. Lista#

Orice model elasto-plastic, pentru oțel sau pentru pământ, răspunde la patru întrebări:

Ingredient

Întrebarea

Răspunsul Cam-Clay

Îl avem deja?

1. Elasticitatea

Cum se deformează materialul cât timp deformația este recuperabilă?

volumic: după URL, cu panta \(\kappa\) [–]; la forfecare: cu un modul \(G\) [kPa]

da (De la C_c, C_s la \lambda, \kappa)

2. Curba de curgere

La ce combinații \((p', q)\) începe deformația permanentă?

o curbă în planul \(q\)–\(p'\), a cărei mărime este dată de \(p'_0\) [kPa]

doar repere (Suprafața completă și peretele elastic)

3. Regula de curgere

Când curge, în ce direcție se deformează: cât volum și câtă forfecare?

raportul \(\delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p\) [–] depinde numai de \(\eta = q/p'\)

nu

4. Întărirea

Cum se mută curba de curgere când materialul curge?

\(p'_0\) crește când proba se contractă plastic, după NCL

da (De la C_c, C_s la \lambda, \kappa)

Ne lipsesc ingredientele 2 și 3. Vom vedea că sunt legate: dacă îl știm pe 3, îl putem calcula pe 2.

6.1.2. Deformații elastice și deformații plastice#

Orice mică deformație o despărțim în două părți:

\[ \delta\varepsilon_v = \delta\varepsilon_v^e + \delta\varepsilon_v^p, \qquad \delta\varepsilon_s = \delta\varepsilon_s^e + \delta\varepsilon_s^p \qquad [\text{–}] . \]

Indicele \(e\) înseamnă elastic (se recuperează la descărcare), indicele \(p\) înseamnă plastic (rămâne). \(\varepsilon_v\) este deformația de volum, iar \(\varepsilon_s\) deformația de forfecare, definite în Efortul mediu p' și efortul deviator q. Simbolul \(\delta\) înseamnă „o mică variație”: modelul lucrează în pași mici, pentru că răspunsul pământului depinde de starea în care se află la fiecare pas.

6.1.3. Ingredientul 1: elasticitatea#

Volumul. Pe o linie de descărcare–reîncărcare, \(v = v_\kappa - \kappa\ln p'\). Pentru o mică variație a lui \(p'\):

\[ \boxed{\,\delta\varepsilon_v^e = \frac{\kappa}{v}\,\frac{\delta p'}{p'}\,} \qquad\text{adică}\qquad K' = \frac{v\,p'}{\kappa}\ [\text{kPa}] . \]

\(K'\) este modulul de deformație volumică. Nu este o constantă: crește proporțional cu \(p'\). Pentru Weald Clay la \(v = 1{,}60\) [–] și \(p' = 200\) kPa, \(K' = 1{,}60 \cdot 200/0{,}035 = 9\,140\) kPa.

Forfecarea. Avem nevoie de încă o constantă elastică, pe care teoria stării critice nu o dă:

\[ \boxed{\,\delta\varepsilon_s^e = \frac{\delta q}{3G}\,} \]

unde \(G\) [kPa] este modulul de forfecare. În practică se alege fie \(G\) constant, fie, mai des, un coeficient al lui Poisson \(\nu'\) [–] constant, din care

\[ G = \frac{3\,(1 - 2\nu')}{2\,(1 + \nu')}\,K' . \]

Cu \(\nu' = 0{,}3\) [–], \(G = 0{,}46\,K'\); în exemplul de mai sus, \(G = 4\,220\) kPa. Acesta este „al șaselea parametru” pomenit în Cei cinci parametri — tabel recapitulativ.

Două proprietăți ale părții elastice

  • Variația de volum depinde numai de \(p'\), iar cea de forfecare numai de \(q\). În interiorul curbei de curgere, forfecarea nu schimbă volumul.

  • De aici rezultă ce am folosit în Suprafața completă și peretele elastic: nedrenat și elastic înseamnă \(\delta\varepsilon_v^e = 0\), deci \(\delta p' = 0\). Drumul de eforturi efective urcă vertical.

6.1.4. Ingredientul 4: întărirea#

Îl avem din edometru. Când o probă este împinsă de-a lungul NCL de la \(p'_0\) la \(p'_0 + \delta p'_0\), partea plastică a deformației de volum este (vezi De la C_c, C_s la \lambda, \kappa):

\[ \boxed{\,\delta\varepsilon_v^p = \frac{\lambda - \kappa}{v}\,\frac{\delta p'_0}{p'_0}\,} \]

Citită invers, relația spune cum se schimbă „memoria” pământului: \(p'_0\) crește când proba se contractă plastic și scade când se dilată plastic. Cam-Clay face aici o ipoteză importantă: nu contează cum a apărut deformația plastică de volum, prin compresiune sau prin forfecare. Efectul asupra lui \(p'_0\) este același.

De ce numai volumul? Pentru că, în acest model, starea internă a pământului este descrisă de un singur număr, îndesarea. Deformația plastică de forfecare, oricât de mare, nu schimbă \(p'_0\) dacă volumul nu se schimbă. Exact asta se întâmplă la stare critică.

6.1.5. Ce urmează#

Rămân de găsit regula de curgere și curba de curgere. Pentru prima avem nevoie de o idee fizică nouă, pe pagina următoare.

Rezumat

  • Un model elasto-plastic are patru ingrediente: elasticitate, curbă de curgere, regulă de curgere, întărire.

  • Elastic: \(\delta\varepsilon_v^e = (\kappa/v)\,\delta p'/p'\) și \(\delta\varepsilon_s^e = \delta q/(3G)\).

  • Întărire: \(\delta\varepsilon_v^p = [(\lambda-\kappa)/v]\,\delta p'_0/p'_0\); numai deformația plastică de volum schimbă \(p'_0\).

  • Singura constantă nouă este \(G\) [kPa] (sau \(\nu'\) [–]).

Cuprins