6.5. Întărirea și suprafața de stare limită, regăsită

Intuiție

Curba de curgere nu este un gard fix. Este mai degrabă un balon: când starea apasă pe el dinspre partea „udă”, balonul se umflă și proba poate duce mai mult; dinspre partea „uscată”, balonul se dezumflă și proba slăbește. Cât se umflă depinde de un singur lucru: cu cât și-a micșorat proba, definitiv, volumul.

6.5.1. Curba de curgere se mișcă

Avem acum toate cele patru ingrediente. Să le vedem lucrând împreună pe încercarea cea mai simplă: o probă normal consolidată de Weald Clay, la \(p'_0 = 200\) kPa, forfecată drenat.

Proba pornește din \((200;\ 0)\), care este chiar capătul elipsei ei. Orice creștere a lui \(q\) scoate starea în afara elipsei, ceea ce nu este permis. Singura posibilitate este ca elipsa să crească odată cu starea: proba curge plastic, se contractă, iar \(p'_0\) crește exact cât trebuie pentru ca starea să rămână pe curbă. Din ecuația elipsei, mărimea ei este dată în fiecare moment de starea curentă:

\[ p'_0 = p' + \frac{q^2}{M^2\,p'} \quad [\text{kPa}] . \]

Starea pe drumul 3:1	\(p'\) [kPa]	\(q\) [kPa]	\(\eta\) [–]	\(p'_0\) [kPa]
început	200	0	0	200
	230	90	0,39	269
	260	180	0,69	398
stare critică	293	278	0,95	585

Figura 6.4 Întărirea într-o încercare drenată pe o probă normal consolidată (Weald Clay, \(p'_0\) inițial 200 kPa). Pe măsură ce starea urcă pe drumul 3:1, curba de curgere crește: numerele de pe axă sunt valorile succesive ale lui \(p'_0\) [kPa]. La stare critică starea ajunge în vârful elipsei și creșterea se oprește.

Curba de curgere a crescut de aproape trei ori. Proba de la sfârșit este, din punctul de vedere al modelului, alt pământ decât cea de la început: mai îndesat, cu o zonă elastică mult mai mare. Dacă am descărca-o și am reîncărca-o, s-ar comporta elastic până la noua elipsă.

De ce se oprește creșterea la stare critică? Întărirea depinde de deformația plastică de volum, iar regula de curgere spune că la \(\eta = M\) aceasta este zero. Starea este în vârful elipsei, vectorul deformației este vertical, \(p'_0\) nu se mai schimbă, și proba curge la eforturi și volum constante. Starea critică nu este o ipoteză separată a modelului; rezultă din regula de curgere și din regula de întărire.

Pe partea „uscată” povestea este în oglindă: starea atinge elipsa în stânga vârfului, regula de curgere dă dilatare, deci \(p'_0\) scade. Elipsa se micșorează, iar starea, care trebuie să rămână pe ea, coboară: proba se înmoaie după vârf, până când ajunge tot în vârful unei elipse, pe linia stării critice.

6.5.2. Suprafața de stare limită, dedusă

În capitolul 5 suprafața Roscoe a fost un rezultat de laborator. Acum o putem calcula. O stare care curge se află simultan:

• pe o linie de descărcare–reîncărcare: \(v = N - \lambda\ln p'_0 + \kappa\ln(p'_0/p')\);

• pe elipsa cu același \(p'_0\): \(p'_0/p' = 1 + \eta^2/M^2\).

Eliminăm \(p'_0\) între cele două:

\[ \boxed{\,v = N - \lambda\ln p' - (\lambda - \kappa)\,\ln\!\left(1 + \frac{\eta^2}{M^2}\right)\,} \]

Aceasta este ecuația suprafeței de stare limită a modelului Cam-Clay modificat: leagă cele trei coordonate \(p'\), \(q\) (prin \(\eta\)) și \(v\) ale oricărei stări care curge plastic. Cu presiunea echivalentă \(p'_e = \exp[(N - v)/\lambda]\) din Presiunea echivalentă și suprafața Roscoe, ea devine

\[ \frac{p'}{p'_e} = \left(\frac{M^2}{M^2 + \eta^2}\right)^{(\lambda-\kappa)/\lambda} , \]

adică exact formula pe care am dat-o „ca anticipare” în capitolul 5 și cu care am desenat toate figurile de acolo.

Trei consecințe imediate:

1. Linia de compresiune normală. La \(\eta = 0\) ultimul termen dispare: \(v = N - \lambda\ln p'\). Suprafața se sprijină pe NCL.

2. Linia stării critice și legătura dintre \(N\) și \(\Gamma\). La \(\eta = M\):

\[ v = N - (\lambda-\kappa)\ln 2 - \lambda\ln p' . \]

Este o dreaptă paralelă cu NCL, cum am observat experimental în Linia stării critice: M și \Gamma. Comparând cu \(v = \Gamma - \lambda\ln p'\):

\[ \boxed{\,N - \Gamma = (\lambda - \kappa)\,\ln 2\,} \]

Am demonstrat relația folosită în Cei cinci parametri — tabel recapitulativ. Pentru Weald Clay: \(0{,}058 \cdot 0{,}693 = 0{,}040\) [–]. Modelul nu are deci nevoie de \(N\) și de \(\Gamma\) separat: unul îl dă pe celălalt. Cu modelul original, același calcul (curba de curgere taie CSL la \(p'_0/2{,}72\), iar \(\ln 2{,}72 = 1\)) dă \(N - \Gamma = \lambda - \kappa\).

3. Compresiunea în edometru. În edometru raportul de eforturi este constant, \(\eta_{K_0} = 3(1-K_0)/(1+2K_0)\) (vezi Drumuri de eforturi). Ultimul termen este atunci o constantă, deci linia de compresiune edometrică este paralelă cu NCL și puțin sub ea. Pentru \(K_0 = 0{,}6\) [–]: \(\eta_{K_0} = 0{,}545\) [–] și decalajul este \(0{,}058 \cdot \ln(1 + 0{,}297/0{,}9025) = 0{,}017\) [–]. Linia edometrică stă deci între NCL (\(N = 2{,}100\)) și CSL (\(\Gamma = 2{,}060\)), la \(2{,}083\). Este răspunsul la întrebarea lăsată deschisă în NCL și URL, încă o dată, în noile coordonate.

6.5.3. Drumul nedrenat

La volum constant, deformația elastică de volum și cea plastică se anulează reciproc: \(\delta\varepsilon_v^e + \delta\varepsilon_v^p = 0\). Mai simplu, punem \(v\) = constant în ecuația suprafeței. Pentru o probă normal consolidată la \(p'_0\):

\[ \frac{p'}{p'_0} = \left(\frac{M^2}{M^2 + \eta^2}\right)^{(\lambda-\kappa)/\lambda} . \]

Este ecuația drumurilor din Figura 5.1. La stare critică, \(p'_{cs}/p'_0 = 2^{-(\lambda-\kappa)/\lambda} = 2^{-0{,}624} = 0{,}65\) [–]: raportul pe care în Drumuri care seamănă între ele l-am obținut din paralelismul NCL–CSL.

Observă exponentul \((\lambda-\kappa)/\lambda\). Dacă pământul ar fi fără nicio revenire elastică (\(\kappa = 0\)), drumul nedrenat ar fi chiar elipsa. Cu cât \(\kappa\) este mai mare, cu atât drumul se abate mai puțin spre stânga, adică presiunea apei din pori crește mai puțin.

6.5.4. Unde modelul nu mai este de încredere

Elipsa continuă și în stânga vârfului, până în origine. Modelul spune deci că o probă puternic supraconsolidată rămâne elastică până la elipsă, mult deasupra liniei stării critice. Să comparăm cu ce am învățat în Partea „uscată”: suprafața Hvorslev și limita de întindere, pe proba cu \(p'_0 = 800\) kPa descărcată la \(p' = 50\) kPa:

	\(q\) la curgere [kPa]	\(q/p'\) [–]
elipsa Cam-Clay modificat: \(0{,}95\sqrt{50 \cdot 750}\)	184	3,7
suprafața Hvorslev (cu \(h = 0{,}6\))	94	1,9
limita de întindere \(q = 3p'\)	150	3,0

Elipsa dă o rezistență de vârf dublă față de cea observată și trece chiar de limita de întindere. Pe partea „uscată”, Cam-Clay modificat supraestimează serios rezistența de vârf. Pe partea „udă” (argile normal consolidate și ușor supraconsolidate, \(R_p < 2\)) se potrivește bine cu măsurătorile, și acolo este folosit cu încredere. Pentru argile rigide, programele înlocuiesc partea stângă a elipsei cu o suprafață de tip Hvorslev sau folosesc alte modele; revenim în capitolul 10.

Rezumat

• Starea care curge rămâne pe curba de curgere; curba se mărește (întărire, „ud”) sau se micșorează (înmuiere, „uscat”) după semnul deformației plastice de volum.

• Starea critică rezultă din model: în vârful elipsei, deformația plastică de volum este zero și \(p'_0\) nu se mai schimbă.

• Suprafața de stare limită: \(v = N - \lambda\ln p' - (\lambda-\kappa)\ln(1 + \eta^2/M^2)\).

• \(N - \Gamma = (\lambda-\kappa)\ln 2\) (modificat) sau \(\lambda - \kappa\) (original).

• Modelul este bun pe partea „udă” și supraestimează rezistența pe partea „uscată”.