6.4. Cam-Clay modificat: elipsa

Intuiție

Aceeași rețetă, cu cealaltă regulă de curgere. De data aceasta rezultatul este cea mai simplă curbă închisă pe care o putem desena între origine și \(p'_0\): o elipsă. Pe axa \(p'\) ajunge vertical, fără colț, deci o probă comprimată izotrop se deformează numai volumic.

6.4.1. Deducerea

Regula de curgere a modelului modificat, din Unde se duce lucrul mecanic: regula de curgere, și normalitatea dau:

\[ \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}p'} = -\,\frac{M^2 - \eta^2}{2\eta} . \]

Ca înainte, \(\mathrm{d}q/\mathrm{d}p' = \eta + p'\,\mathrm{d}\eta/\mathrm{d}p'\). Trecând \(\eta\) în dreapta:

\[ p'\,\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}p'} = -\,\frac{M^2 + \eta^2}{2\eta} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2\eta\,\mathrm{d}\eta}{M^2 + \eta^2} = -\,\frac{\mathrm{d}p'}{p'} \quad\Longrightarrow\quad \ln\left(M^2 + \eta^2\right) = -\ln p' + \text{const.} \]

Cu condiția \(\eta = 0\) la \(p' = p'_0\):

\[ \boxed{\,\frac{p'}{p'_0} = \frac{M^2}{M^2 + \eta^2}\,} \]

Înlocuind \(\eta = q/p'\) și aranjând:

\[ \boxed{\,q^2 = M^2\,p'\,(p'_0 - p')\,} \qquad\text{sau}\qquad q = M\sqrt{p'\,(p'_0 - p')}\quad[\text{kPa}] . \]

6.4.2. Citirea elipsei

• Trece prin origine și prin \((p'_0;\ 0)\). Centrul este la \(p'_0/2\).

• Semiaxa orizontală este \(p'_0/2\), cea verticală \(M\,p'_0/2\).

• Vârful este la \(p' = p'_0/2\) și \(q = M\,p'_0/2\): exact pe linia stării critice. Pentru \(p'_0 = 300\) kPa: vârful la (150 kPa; 142,5 kPa).

• Mărimea elipsei este dată de \(p'_0\) (starea probei); forma ei, de \(M\) (materialul). Toate curbele de curgere ale unui pământ sunt aceeași elipsă, mărită sau micșorată.

Am promis în Suprafața completă și peretele elastic că vom explica de ce vârful curbei de curgere este la \(p'_0/2\) pentru Weald Clay. Acolo rezultatul a ieșit din valorile lui \(N\) și \(\Gamma\); aici vedem că, în Cam-Clay modificat, este o proprietate a elipsei, valabilă pentru orice pământ.

\(p'\) [kPa]	30	75	150	225	270	300
\(q\) pe elipsă [kPa]	86	123	142,5	123	86	0
\(\eta = q/p'\) [–]	2,85	1,65	0,95	0,55	0,32	0
\(\delta\varepsilon_v^p/\delta\varepsilon_s^p\) [–]	−1,27	−0,55	0	+0,55	+1,27	\(\infty\)

(Tabel pentru \(p'_0 = 300\) kPa și \(M = 0{,}95\). Observă simetria: punctele aflate la aceeași distanță de centru au același \(q\) și reguli de curgere egale și de semn contrar.)

6.4.3. Cele două modele, față în față

	Cam-Clay original	Cam-Clay modificat
lucrul pierdut	\(M\,p'\,\delta\varepsilon_s^p\)	\(p'\sqrt{(\delta\varepsilon_v^p)^2 + (M\delta\varepsilon_s^p)^2}\)
regula de curgere	\(M - \eta\)	\((M^2 - \eta^2)/(2\eta)\)
curba de curgere	\(q = M p' \ln(p'_0/p')\)	\(q^2 = M^2 p'(p'_0 - p')\)
vârful (pe CSL) la	\(p'_0/2{,}72\)	\(p'_0/2\)
la \(p'_0\)	colț	tangentă verticală
\(N - \Gamma\) (pagina următoare)	\(\lambda - \kappa\)	\((\lambda - \kappa)\ln 2\)
folosit astăzi	rar	în aproape toate programele

În restul cărții „Cam-Clay” fără altă precizare înseamnă varianta modificată.

Dincolo de triaxial

În programele de element finit, elipsa se scrie cu invarianții din Efortul mediu p' și efortul deviator q: \(f = q^2 - M^2 p'(p'_0 - p') = 0\). În spațiul celor trei eforturi principale ea devine un elipsoid de rotație în jurul axei \(\sigma'_1 = \sigma'_2 = \sigma'_3\). Cu \(M\) constant, secțiunea lui transversală este un cerc, ceea ce supraestimează rezistența în extensiune (unde \(M_e < M_c\), vezi Linia stării critice: M și \Gamma). Multe programe corectează acest lucru făcând \(M\) să depindă de direcția de încărcare (unghiul Lode).

Rezumat

• Cam-Clay modificat: curba de curgere este elipsa \(q^2 = M^2 p'(p'_0 - p')\).

• Vârful este pe linia stării critice, la \(p'_0/2\); pe axă elipsa ajunge vertical.

• \(p'_0\) [kPa] dă mărimea, \(M\) [–] dă forma.

• În dreapta vârfului („ud”) curgerea este cu contracție, în stânga („uscat”) cu dilatare.